WPC(N 2k BNm ZTimes Roman3|os Roman Italic  PCXP"^2CRddCCCdq2C28dddddddddd88qqqYzoCNzoozzC8C^dCYdYdYCdd88d8ddddCN8ddddY`(`lC2CC!CCCCCCCCCCd8YYYYYYzYzYzYzYC8C8C8C8ddddddddddYddddYYYYYYYdzYzYzYzYddddddddC8C8C8C8Ndz8z8z8z8z8ddddddCCCoNoNoNoNz8z8z8dddddddzYzYzYdz8dCoNz8dddddLaurentiusLAURENTI.PRSo\  PChhhhw7XP2M "^*8DSS888S^*8*.SSSSSSSSSS..^^^Jxooxf]xx8Axfxx]xo]fxxxxf8.8NS8JSJSJ8SS..S.SSSS8A.SSxSSJP!PZ8*888888888888S.xJxJxJxJxJooJfJfJfJfJ8.8.8.8.xSxSxSxSxSxSxSxSxSxSxJxSxSxSxSxJxJxJoJoJoJoJxSfJfJfJfJxSxSxSxSxSxSxSxS8.8.8.8.AxSf.f.f.f.f.xSxSxSxSxSxSxo8o8o8]A]A]A]Af.f.f.xSxSxSxSxSxSxxSfJfJfJxSf.xSo8]Af.xSxSxSxSxSAP `0 # USES << ӟ hh s RomanCourier7oC2o\  PCXPT?xxx  x6X@KX@20mCourier 10cpi|xTimes RomanTimes Roman ItalicTimes Roman Bold@2 :%m}7m Times RomanTimes Roman ItalicTimes Roman BoldHelveticaHy.]8*C]\  PCPIm)S2&[ S\  PCP<{,\8* 3\*f9 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Marcelo Vsconez`l"#Nă   yddddy.= v ي)CRese9a de:  Zg  Lorenzo PE8A, Rudimentos de l;gica matemtica, Madrid, CSIC, 1991, 324 Pp. $Rpor Marcelo Vsconez  Z7  THEORIA Segunda (poca Vol. VII  1992, N 161718, tomo B pp. 12451248 $  Zn - kk 1. Caracter1sticas generales. Despu)s de varios a9os de permanecer in)dito el presente texto, por fin ha sido ahora sacado a la luz, en una edici;n de lujo. Y es que los  ZP Rudimentos contienen no pocas tesis que ser1an condenadas como heterodoxas por los detentores del establishment, pues se apartan de los paradigmas oficiales . (Cfr. el Acpite 5 de la Introducci;n: Se justifica el monopolio docente de la l;gica clsica? , Pp. 1216.) En efecto, son dos las l1neas principales revolucionarias  que aparecen en el libro  Z "como en el resto de la obra de Lorenzo Pe9a": la defensa de grados de verdad y de la  Z  contradicci;n. El sistema l;gico presentado en el libro "denominado por el autor, de l;gica  Z transitiva" es infinivalente y contradictorial, es decir, por un lado, es reacio a un tratamiento bivalente o finivalente, y, adems, contiene contradicciones verdaderas, pero ninguna contradicci;n es totalmente verdadera. Por ser gradual y contradictorio, se puede decir que su sistema es dial)ctico. Adems, la l;gica transitiva es el Cnico sistema que contiene contradicciones en las que s;lo figuren letras esquemticas y funciones. (Para una caracterizaci;n rigurosa de qu) es un sistema contradictorial, v)ase el Acpite 1 del Ap)ndice a la Secci;n 1, Pp. 139141.)  Z  kkLo que en el sistema de Pe9a une la gradualidad a la contradicci;n es la regla de  Z apencamiento o aceptaci;n: de que p  sea ms o menos verdadera, o verdadera en alguna medida, se concluye que p  es verdadera a secas. De igual manera que, a partir de que un libro se ms o menos interesante, se infiere que es interesante, punto. Esta regla es opuesta al maximalismo al)tico, segCn el cual s;lo puede afirmarse como verdadero lo que es totalmente verdadero. Similarmente, para poder afirmarse que un libro es interesante, el libro deber1a ser totalmente interesante.  Z kk 2. Justiflcad;n del sistema. Aunque no es intenci;n del autor presentar argumentos irrebatibles que justifiquen de modo absoluto su posici;n, puesto que no cree que haya tales razonamientos, s1 nos brida, a favor de la plausibilidad de su sistema, razones convincentes. (Vide a este respecto sus respuestas a 14 objeciones en contra de la existencia de verdades mutuamente contradictorias, en el Cap. 2, de la Secc. IV, Pp. 259267.)  ZG# kkEl argumento principal que apoya su enfoque dial)ctico es la paradoja del sorites.  Z:$ Esta muestra que entre dos propiedades opuestas, p. ej., mont;n/no mont;n, calvo/no calvo, azul/no azul, cerca/lejos, fr1o/caliente, lento/rpido, alto/bajo, etc., hay infinitas situaciones intermedias, en las cuales alguna cosa posee, hasta cierto punto, una de las propiedades, pero tambi)n "unicamente en una medida no total" la propiedad opuesta. As1, p. ej., hay algCn aglomerado de granos de arena que es y no es un mont;n; el agua tibia es y no es fr1a, etc. La paradoja patentiza que, por medio de transformaciones insensibles, graduales, uno de los opuestos se va convirtiendo en el otro opuesto; no hay una divisi;n tajante, un l1mite preciso, entre ambos, por lo cual se dan zonas de entrecruzamiento. La gradualidad de la posesi;n y la contradicci;n es justamente lo que identifica a las propiedades d~/lsas.+=o.o.o.ԌkkUna justificaci;n ms completa de su sistema l;gico lo constituye el hecho de que, admitiendo grados en la verdad y en la posesi;n de una propiedad, as1 como aceptando la contradicci;n, se resuelve un conjunto amplio de dificultades filos;ficas. Entre ellas cabe citar: el problema de los universales, y de la relaci;n de ejemplificaci;n o participaci;n; la consideraci;n de la identidad como relaci;n y, por ende, como envolviendo alteridad; el problema del flujo temporal, de la presencia del pasado y del futuro, y de la duraci;n del presente; el problema de los conflictos de valores y de deberes; el problema de lo real y lo posible; el del ser y el no ser. (p. 264) Esta tarea de mostrar c;mo la admisi;n de la gradualidad y la contradicci;n forma parte de la soluci;n a dichos problemas desborda los l1mites de la obra que estoy rese9ando, pero ha sido llevada a cabo en otros libros del autor,  Zj como La coincidencia de los opuestos en Dios, Fundamentos de ontolog1a dial)ctica, El  Z] ente y su ser, Hallazgos filos;ficos (en v1as de publicaci;n por la Universidad Pontificia de Salamanca), y numerosos art1culos en revistas especializadas. En verdad, uno de los  ZA prop;sitos de los Rudimentos es el de ofrecer un marco riguroso a las concepciones dial)cticas que han afirmado la contradictorialidad de lo real, desde Herclito hasta MarxEngelsLenin, y no s;lo en la filosofia sino tambi)n en la poes1a y en la m1stica. Estas concepciones ya no podrn ser tildadas de irracionales o il;gicas. kkS)ame permitido insistir un poco sobre el conflicto de los valores, es decir, situaciones en las cuales tener un valor implica no tener otro. Empecemos con un ejemplo de Sartre: es bueno incorporarse a la lucha patri;tica contra al fascismo, pero a la vez no lo es, para dedicarse a socorrer a la madre enferma a invlida. En el campo de la libertad tambi)n hay oposici;n axiol;gica. Para utilizar ejemplos que da Pe9a en otra obra, la libertad de un peat;n para cruzar la carretera choca con la libertad del automovilista de disponer una ruta en la que pueda circular a gran velocidad. O la autonom1a del individuo "el que )ste actCe por voluntad propia" es un valor. Pero el paternalismo tambi)n es un valor: proteger a los hijos, aun contra su voluntad, para asegurar y mantener su libertad, prohibiendo el uso de estupefacientes, obligando a la instrucci;n, etc. Ahora bien, una l;gica como la propuesta por Pe9a permite comprender estos casos de conflictos de valores como aquellos que engendran una contradicci;n )tica: el que una acci;n sea valiosa y contraria a algCn valor significa que es buena y mala a la vez. Aparte de eso, puesto que se admiten grados en la posesi;n de la mayor1a de las propiedades, el sistema brinda una fundamentaci;n l;gica a la doctrina de la gradualidad de la bondad: el bien y el mal son propiedades que se dan por grados. Por ejemplo: denunciar los males de la sociedad en que uno vive es bueno. Hacerlo con una fuerte campa9a es excelente. Hacerlo de un modo espordico es menos bueno. No decir una sola palabra al respecto es peor.  Z! kk 3. Contenido de la obra. El texto est compuesto de cuatro secciones. Las  Z" primeras presentan sus sistema l;gico axiomatizado en sus tres pisos: clculo sentencial, Aj,  Z# cuantificacional, Aq, y teor1a de conjuntos, CD. La Cltima secci;n est dedicada a cuestiones de filosof1a de la l;gica. A pesar de que la obra es la exposici;n de la l;gica transitiva, con demostraci;n rigurosa de teoremas, tal exposici;n no es dogmtica, sino cr1tica, en discusi;n con posiciones alternativas. As1, el lector puede encontrar controversias sobre el relevantismo, intuicionismo, los sistemas de Frege, Russell, Quine, da Costa, etc. kkPaso ahora a indicar algunos rasgos esenciales del clculo propuesto por Pe9a. En  Z) primer lugar, el clculo sentencial Aq contiene dos negaciones: unafierte, es totalmente falso , no en absoluto , dotada de todas las propiedades de la negaci;n clsica, excepto  Z+ su lectura; y una negaci;n d)bil,  es falso , el mero no , para la cual vale el principio de+o.,,<<  Z no contradicci;n, de tercio excluso, y otros, pero a la cual no se aplica la regla de Cornubia  Z (mal llamada regla de Escoto ), a saber: de un par de oraciones, una de las cuales sea la negaci;n d)bil de la otra, se sigue cualquier cosa, incluso cualquier locura. Por ejemplo, de que llueve y no llueve se deduce que yo soy el rey de Espa9a. El rechazo de esta regla es  Z distintivo de las l;gicas paraconsistentes. Pe9a acepta esta regla para la negaci;n fuerte, pero no para la d)bil. (En las pginas 266267, se encuentra una lista de esquemas teoremticos con la indicaci;n de para qu) tipo de negaci;n son vlidos.) Esta distinci;n entre dos tipos de negaciones, con mucha base en el lenguaje ordinario, le permite a Pe9a diferenciar una contradicci;n simple, p y no p , de una supercontradicci;n, p y no p en absoluto . Solo la segunda debe rechazarse por absurda, pero no la primera, la cual es inofensiva.  Z kkAq contiene, adems, dos condicionales, uno clsico, y otro ms fuerte, la implicaci;n, que es un functor que compara grados de verdad de dos oraciones, cuya lectura viene a ser: es a lo sumo tan verdadero como . Para la implicaci;n valen, entre otros  Z principios, el modus tollens y abducci;n (el que p  implique nop  implica nop .) La implicaci;n sirve para definir la equivalencia, que no se confunde con el mero bicondicional, sino que es un functor que expresa que una oraci;n tiene exactamente el mismo valor de verdad, ni ms ni menos, que otra. Tambi)n el sistema contiene dos conyunciones, la clsica, y otra no reducible a ella, la superconyunci;n, que permite representar locuciones de la lengua natural, como: no s;lo8, sino tambi)n . Esta conyunci;n no estndar permitir definir, junto con otros s1mbolos, functores que expresan matices de verdad, como: es muy verdadero , es ms bien verdadero , etc. Un functor interesante introducido es el de afirmaci;n y negaci;n conjuntas, 5 . Es mondico, y se les es verdadero y falso que .  Z% Finalmente, Aq contiene un functor llamado de afirmabilidad, que es bastante similar al operador de necesidad de la l;gica modal 55 de Lewis. Su representaci;n semntica puede hacerse mediante apelaci;n a los mundos posibles, al modo de Kripke. De donde resulta que  Z este functor de afirmabilidad es tensorial, y no meramente escalar. Sendos cap1tulos de la Secc. 1 estn dedicados a la introducci;n y explicaci;n de cada uno de estos functores. (V)ase, los cap1tulos 7: El functor condicional o de entra9amiento ; 10: Supernegaci;n y sobreafirmaci;n ; 11: Lo totalmente verdadero y lo totalmente falso ; 13: Implicaci;n ; 18: Los hechos ms bien verdaderos o reales ; 19: Los hechos bastante verdaderos ; 21: La superconyunci;n ; 22: Verdadero y muy verdadero ; 24: Lo verdadero en todos los aspectos ; 25: sobre el functor de afirmabilidad.)  Z kkNo cabe pasar por alto el hecho de que la l;gica transitiva es un extensi;n estricta  Z de la l;gica clsica: todos los teoremas y todas las reglas de inferencia de )sta los son de aqu)lla, pero no a la inversa; en otras palabras, la l;gica transitiva contiene la l;gica clsica, pero sin reducirse a ella. Ms aCn, como lo prueba el metateorema del englobamiento  Z# (Acpite 3 del Ap)ndice a la Secci;n 1, pp. 143145), Aq contiene a todos los sistemas  Z$ finivalentes de l;gica. Este hecho convierte al sistema Aq en el ms fuerte que se conozca, en el sentido de que mayor es el nCmero de sistemas de l;gica de los cuales es una extensi;n cuasiconservativa. Por este motivo, la l;gica transitiva es mejor, ms fundamental, ms importante que la l;gica clsica, la cual no contempla ms que las situaciones extremas, de lo totalmente verdadero o lo totalmente falso, borrando as1, de un plumazo, los matices de verdad, mientras que la realidad es gradual, presenta situaciones intermedias que son ms o menos verdaderas, y, por ello mismo, tambi)n ms o menos falsas. Reducir la l;gica a laj*o.,,<< l;gica clsica se revela, pues, como un prejuicio injustificable, que ha retrasado la difusi;n y admisi;n de nuevos descubrimientos investigativos. kkLa Secci;n II no contiene casi ninguna novedad, excepto un estudio del diferente comportamiento de los functores introducidos en su relaci;n con los cuantificadores. Basta  Z: indicar que Aq es un clculo de primer orden. kkEn la secci;n III, se presenta la teor1a de conjuntos, que Pe9a denomina clculo de  Z determinaciones, CV. Viene indicada su base axiomtica y algunos teoremas deducibles en el sistema. A diferencia de las dos secciones precedentes, en la tercera no hay una demostraci;n, l1nea por l1nea, de las aserciones que se pueden probar en el sistema. Es simplemente un esbozo de una obra proyectada, Teor1a dial)ctica de conjuntos. kkEso s1, en esta secci;n Pe9a analiza minuciosamente la teor1a de tipos de Frege y Russell, los sistemas ML y NF de Quine. Sin embargo todos ellos son criticados. Los dos primeros por practicar el desnivelamiento categorial con el fin de evitar las paradojas, especialmente la de Russell: el conjunto de todas las cosas que no se pertenecen a s1 mismas se pertenece y no se pertenece a s1 mismo. El poner barreras categoriales "p.ej., la de considerar como oraciones bien, formadas Cnicamente a aquellas en las cuales a un ente de determinado nivel se atribuye un ente del nivel inmediato superior" tiene graves inconvenientes, principalmente el de conducir a la inefabilidad. En efecto, la afirmaci;n: existen entes de determinado nivel y otros entes de niveles superiores , a pesar de que es una tesis que asevera lo que sucede en la teor1a, es una afirmaci;n que no puede decirse en la teor1a, so pena de violar sus propias reglas, pues las palabras existe , ente , algo , todo , etc., son plur1vocas, no pueden aplicarse en el mismo sentido a entes de distintas categor1as. Por su parte, los sistemas Quine no comportan estas dificultades pero tienen las suyas propias. As1, ML reconoce la existencia de un conjunto universal, pero que no abarca a todo. Y NF no permite probar una versi;n fuerte del principio de inducci;n matemtica; tampoco acepta la existencia de la extensi;n de cualquier predicado. kkEl sistema propuesto por Pe9a no sufre de los defectos indicados. Es un clculo no  ZG recursivamente axiomatizable, combinatorio, en el cual se borran las diferencias categoriales entre oraciones y otras expresiones. Por ser contradictorial, puede aceptar que el conjunto de Russell se pertenece y no se pertenece a si mismo. Uno de los resultados conseguibles  Z en CD es que existe un conjunto "que el autor prefiere llamar cCmulo " que abarca absolutamente a cada uno de los entes. Por Cltimo, el autor muestra c;mo, a partir de las nociones de sucesi;n, nCmero natural, ancestral, multiplicaci;n, etc. se puede introducir la aritm)tica y otros campos matemticos. kkPor lo que respecta a la Secci;n IV, uno de sus cap1tulos importantes es el 3, el cual constituye un estudio comparativo de tres enfoques en l;gica paraconsistente: los sistemas de R. Routley, N. da Costa, y del propio autor. Entre las desventajas principales que Pe9a se9ala en contra del sistema relevantista de Routley estn: 1) la de sacrificar el principio verum e quolibet  (si la oraci;n p  es verdadera, entonces se sigue de cualquier otra, la que sea), y el silogismo disyuntivo, p)rdidas que hacen al sistema deductivamente d)bil; 2) la de quedarse sin un criterio de rechazabilidad l;gica de una teor1a, por lo cual no puede enunciarse la coherencia de la propia teor1a. Por otro lado, el enfoque de da Costa es criticado entre otras cosas por invalidar el principio de no contradicci;n, las leyes de De Morgan, el principio que permite pasar de p  a su doble negaci;n, y, por abandonar la*o.,,<< equivalencia entre nop y no es verdad que p. La l;gica transitiva de Pe9a sale airosa de este cotejo por verse libre de los inconvenientes rese9ados.  ZX kk4. Conclusi;n. Rudimentos viene a llenar un vac1o en la bibliograf1a l;gica existente, pues la mayor1a de los manuales son unilaterales, limitndose a presentar la l;gica clsica (bivalente verifuncional), sin ni siquiera indicar "y menos aCn, justificar" que se trata de una opci;n entre otras. En cambio el texto rese9ado esclarece las cuestiones en torno a la alternatividad de sistemas de l;gica, brindando criterios razonados para optar por uno de ellos.  Rv Xkk8ha llegado, por fin!, el momento de una revoluci;n l;gica sin precedentes, en la cual la l;gica aristot)lica, con su rechazo de la contradicci;n, y con su repudio de grados de  Z falsedad y de verdad, est condenada a perder su supremac1a8  (p.4)ƹ k `B#>F.Marcelo Vsconez