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la primera Secci;n, el art1culo examina varias de las principales ideas y aportaciones l;gicas de Lorenzo Pe9a, mostrando c;mo constituye una peculiaridad de la concepci;n y del sistema formal propuestos por ese autor el articular la l;gica paraconsistente dentro de un enfoque gradual1stico de la verdad, lo cual lleva al empleo de una semntica infinivalente y tensorial y a la introducci;n de una serie de nuevos functores que responden al uso lingG1stico, al menos idealizadamente. En la segunda parte se someten a cr1tica tales ideas, principalmente cuestionando el punto  Sb de vista de Lorenzo Pe9a sobre la relaci;n entre l;gica y ontolog1a.A   v  b  k  Secci;n I. Una exposici;n sucinta de las principales ideas l;gicas  k #pde Lorenzo Pe9a  \~ )a  1. La vinculaci;n de las nociones de gradualidad y de contradicci;n en la teor1a # La idea intuitiva central en toda la concepci;n de Lorenzo Pe9a estriba en que todas las propiedades que denominamos con expresiones usuales ms o menos simples se dan por grados; y que la verdad de un hecho o estado de cosas es lo mismo que la existencia de tal hecho o estado de cosas, siendo a su vez tal existencia lo mismo que el hecho o estado de cosas; de donde se sigue que, por el carcter redundante  de la verdad (la verdad es una funci;n que env1a a cada argumento que tome sobre s1 mismo "en lenguaje t)cnico se dir1a: es una transformaci;n id)ntica), el que las propiedades se den por grados entra9a que hay grados de existencia de los estados de cosas, esto es grados de verdad. As1, cuando sucede que una ciudad es ms hermosa que otra, es que el hecho consistente en la hermosura de la primera ciudad es ms real o verdadero que el que consista en la hermosura de la segunda. Lo mismo que vale para la verdad vale tambi)n para la falsedad; pues la falsedad de un hecho es su inexistencia; y )sta es la existencia de aquel otro hecho que venga significado por la negaci;n de una oraci;n que signifique al hecho inicialmente considerado. Ahora bien, verdad y falsedad, existencia e inexistencia, son propiedades complementarias; yeso quiere decir dos cosas:  1) que, en la medida en que se d) la una, no se da la otra;#  2) que en la medida en que no se d) la una, se estar dando la otra. As1 pues, cuando un hecho no sea totalmente verdadero, su negaci;n ser al menos parcialmente verdadera o real; y en esa medida )l ser parcialmente falso o inexistente.#n)b=o.o.o.ԌDe donde resulta que un mismo hecho podr ser hasta cierto punto existente y, sin embargo, tambi)n hasta cierto punto inexistente. (N;tese que ese uso ontol;gico  de la noci;n de verdad que hace Lorenzo Pe9a no excluye un uso derivado, o semntico,  \ en que el t)rmino `verdadero' se aplica a oraciones: una oraci;n ser verdadera, en esta acepci;n semntica, en la medida en que sea verdadero, en la acepci;n ontol;gica, el hecho que ella venga a significar.) SegCn el punto de vista de Lorenzo Pe9a el mbito en que se dan graduaciones de verdad y falsedad (o sea, en que la verdad y la falsedad, la existencia y la inexistencia, se solapan parcialmente) es el de toda la realidad. Otros fil;sofos han emprendido una cierta flexibilizaci;n o fluidificaci;n de determinadas fronteras, gradual izando tales o cuales nociones filos;ficamente importantes (p.ej. Quine). Lorenzo Pe9a va ms lejos y extiende tal procedimiento a prcticamente todas las propiedades "salvo aquellas que vengan designadas por expresiones un tanto complejas o hasta rebuscadas, como ser, hasta cierto punto por lo menos, Ctil ; esa propiedad no ser gradual, pero s1 lo ser la utilidad a secas. Lorenzo Pe9a cree as1 encontrar gradualidades en la creencia, en la justificaci;n, en la obligaci;n, en el valor, en la bondad, en la necesidad (yeso para cualquier acepci;n de ese t)rmino de `necesario'), en la simultaneidad (entender as1 el tiempo como un darse las cosas hasta cierto punto simultneamente y hasta cierto punto no simultnea sino sucesivamente: el tiempo no ser pura sucesi;n, pues; ni el pasado es totalmente pasado ni el futuro totalmente futuro, sino que en alguna medida son tambi)n presentes). Con esa visi;n aborda Lorenzo Pe9a problemas como los de los conflictos o dilemas morales y valora ti vos, las inconsistencias doxsticas, la contingencia, la libertad de la voluntad y muchos otros. Ahora bien, cul es el engarce que lleva en el de la gradualidad a la contradicci;n y viceversa? El camino de la gradualidad "aquello que distinguir al pensamiento de Pe9a y a su l;gica transitiva  de otras teor1as gradualistas" es la aceptaci;n de un principio y de una regla de inferencia que no estn exentos de controversia. El principio es el que Pe9a llama principio fuerte de tercio excluso : p o es del todo falso que p . En la teor1a de Pe9a existe, junto a la negaci;n natural o simple, ~, una negaci;n fuerte, , que )l lee como `no es en absoluto verdad que' o `es del todo falso que'. Ese principio fuerte de tercio excluso es, pues, simplemente el principio de tercio excluso pero para la negaci;n fuerte. Si otros no lo aceptan es porque, justamente, consideran que, cuando se dan gradualidades, puede ni ser suficientemente verdad que p ni ser tampoco totalmente verdad que no p; eso de suficientemente  suele entenderse as1: algo no es lo suficientemente verdadero (para ser afirmado) ms que si es completamente verdadero. Pero esa presuposici;n es atacada por Lorenzo Pe9a, quien la tilda de maximalismo al)tico ; para Pe9a algo puede ser verdadero sin serIo totalmente; segCn )l, para que p o q  sea suficientemente  verdadero s;lo hace falta que p o q sean verdaderos en alguna medida, que uno u otro disyunto tenga alguna verdad, la que sea, grande o peque9a. A9adamos ahora a ese principio la regla de inferencia a que alud1amos l1neas atrs, y que no es sino la del silogismo disyuntivo (para la negaci;n fuerte): de p o q  y q  se deducir p . Combinando ese principio y esa regla, se deriva otra regla, a la cual llama Lorenzo Pe9a regla de apencamiento : de Es, hastan+o.,,55 cierto punto por lo menos, verdad que p  dedCcese p  a secas; porque `Es, hasta cierto punto por lo menos, verdad que' abreviar simplemente a `Es (del todo) falso que sea del todo falso que' (ante una negaci;n fuerte es indiferente poner una negaci;n fuerte o una negaci;n simple). Esa regla de apencamiento quiere decir que cuanto no sea completamente falso es verdadero; que lo que sea verdadero en alguna medida es verdadero (a secas). Y naturalmente esa regla no la ha admitido ninguna otra de las tendencias que trabajan en teor1as de conjuntos difusos. La posici;n de Pe9a es, pues, la diametralmente opuesta al maximalismo al)tico: un minimalismo al)tico, o quiz hiperbolismo: cuanto sea verdadero en alguna medida, por peque91sima que )sta sea, es verdadero a secas; lo es, precisamente, (s;lo) en esa medida; pero (luego) lo es. (En la construcci;n t)cnica, se traducir ese hiperbolismo en escoger, a la hora de perge9ar modelos, dentro de un conjunto infinito de valores de verdad linealmente ordenados, un subconjunto de valores designados  o distinguidos  que abarque a todos los valores positivos, o sea que Cnicamente excluya de s1 al valor nulo o cero.) Con ello hemos contestado a la primera mitad de nuestra pregunta sobre c;mo vincula Pe9a contradicci;n y gradualidad. Queda por ver la otra mitad: c;mo pasa nuestro autor de la aceptaci;n de la contradicci;n a la afirmaci;n de la gradualidad. Es )se un paso muy problemtico, ya que un entra9amiento de la gradualidad por la contradicci;n es algo que rechazar1an la gran mayor1a de los l;gicos que trabajan en la puesta en pie de l;gicas paraconsistentes, esto es de quienes articulan sistemas id;neos para, con ayuda de los mismos, poder elaborar teor1as que sostengan la existencia de contradicciones verdaderas. Prcticamente es una peculiaridad de la orientaci;n singular de Pe9a el no reconocer ninguna presencia ni siquiera posibilidad de contradicci;n verdadera que no venga anclada en una gradualidad, o que no estribe en la `existencia  \ de grados intermedios entre el totalmente s1 y el totalmente no. Pues bien, en qu) argumentos basa nuestro autor semejante postura? Contrariamente a lo que pod1amos esperar, sus argumentos a favor de ese  \L obligado y general anclaje o enraizamiento de la contradicci;n "de cualquier contradicci;n que quepa reputar verdadera" en la gradualidad son menos claros, menos abundantes y menos tajantes que los que prodiga a favor del entra9amiento inverso (el de la contradicci;n por la gradualidad). Y es que sin duda Pe9a se ha propuesto convencer de la necesidad de abrazar una l;gica paraconsistente "o incluso negacionalmente inconsistente" a quienes aceptan gradualidades, pero no la existencia de contradicciones verdaderas (p.ej. los adeptos de l;gicas y teor1as de conjuntos difusas, en la l1nea de L. Zadeh y otros investigadores afines  ) mucho ms que persuadir a quienes, por otros motivos, aceptan la idea de la paraconsistencia de que, en el fondo, esos motivos, en la medida en que )l los juzgue vlidos o correctos, descansan en una gradualidad subyacente o impl1cita que s;lo habr1a que desenterrar o sacar a luz. Y por qu)? Bueno, seguramente porque cree que lo ms dif1cil de admitir en la comunidad de l;gicos es precisamente la aceptabilidad de teor1as que contengan contradicciones (o sea de teor1as negacionalmente inconsistentes). Eso, naturalmente, es opinable. Sin embargo, rastreando diversos trabajos de Pe9a s1 parecen asomar dos argumentos, a veces s;lo esbozados o insinuados, a favor de que la contradicci;n (toda contradicci;n, con tal de que pueda leg1timamente ser considerada verdadera) estriba od+o.,,55 radica en una gradualidad. Un primer argumento es el de que siempre es posible ver lo as1; ahora bien, si eso es posible, entonces deber1a hacerse "as1 parece pensar nuestro autor", puesto que, al hacer lo, se tendr una explicaci;n de por qu) y c;mo hay contradicci;n "en lugar de que la existencia de una contradicci;n verdadera aparezca como un mero hecho bruto. Y c;mo es posible operar ese enraizamiento, o esa reducci;n "pues de reducci;n se trata para Pe9a? Tomemos un ejemplo: el del conjunto de Russell; en muchas teor1as de conjuntos elaboradas con l;gicas paraconsistentes se ha postulado, directa o indirectamente, la existencia de un conjunto de Russell "el conjunto de cuantos conjuntos no se abarcan a s1 mismos (vide infra, Secc. 11, apartado 1)", resultando de otros postulados que tal conjunto se abarca y no se abarca a s1 mismo. Para Pe9a una explicaci;n natural de ese hecho "quiz a su juicio la Cnica que sea de veras natural" estriba en que ese conjunto de Russell hasta cierto punto se abarca a s1 mismo, pero tambi)n hasta cierto punto no lo hace; o sea: es que hay grados de abarcamiento (y de pertenencia, por lo tanto), y no est aCn todo dicho al decirse que un conjunto abarca a un miembro suyo, sino que falta por determinar cunto (en qu) medida) lo haga. Similarmente, algunos pensadores han es timado que el movimiento es contradictorio y que el m;vil est y no est en su lugar de destino "y en el de salida"; Pe9a piensa que eso no puede ser un hecho bruto, sino que tiene que tener una explicaci;n, o sea: tiene que haber algo en lo que consista o estribe una situaci;n as1, algo tal que, al percatarnos de ello, veamos con mayor claridad c;mo es que se da esa contradicci;n del movimiento; y ese algo para Pe9a es, precisamente, que hay grados en  \ la relaci;n de estaren, consistiendo as1 el movimiento en una peculiar combinaci;n de determinados grados del estar una cosa en un sitio con grados tambi)n determinados de su estar en otro u otros sitios. Pero no es )se el Cnico argumento que parece llevar a Pe9a a sostener como lo hace que toda contradicci;n estriba en gradualidad. Un segundo argumento ser1a que el modo ms natural de entender oraciones de la forma p y no p  es vi)ndolas como asertos de la verdad y de la falsedad de una proposici;n, p; pero si se aseveran a la vez tanto la verdad como la falsedad de p, y si esa aseveraci;n est fundada en c;mo son las cosas en la realidad, entonces p tiene dos propiedades o rasgos que se contradicen; pero entonces, si de veras se contradicen, en la medida en que tenga una de las dos no  \ tendr la otra; como, sin embargo, s1 tiene ambas, es que en alguna medida tiene una y  \ no la otra, y en alguna medida tiene la otra y no la una. Ahora bien, todo este argumento puede reducirse a esto: si se da una contradicci;n, algo tiene dos propiedades opuestas; pero en la medida en que tiene una, no tiene la otra "y viceversa; luego en alguna medida tiene la una y no la otra "y viceversa; si en alguna medida tiene la una (y no la otra) y en alguna medida tiene la otra (y no la una), ninguna de esas medidas ser total o mxima. (Podr1a objetrsele a Pe9a: no hay ah1 alguna impl1cita petici;n de principio, al saltar de en alguna medida p (en vez de no p) y en alguna medida nop (en vez de p)  a s;lo en alguna medida p y s;lo en alguna medida nop ? Pe9a replicar1a, seguramente, que se trata, no de un salto, sino de un paso natural; la introducci;n de cada una de las dos ocurrencias de `s;lo' vendr1a impuesta o justificada por el hecho de que en alguna medida se d) algo contradictorio respecto a aquello que va a venir afectado por ese mismo `s;lo'; con otras palabras: la introducci;n de sendas ocurrencias de `s;lo' en la conclusi;n viene justificada por las dos clusulas que en la premisat+o.,,55 figuraban entre par)ntesis. En todo caso el argumento no deja de tener cierta circularidad.) Adems de eso, hay supuestos en tal argumento que no aceptar todo el mundo; como el de que afirmar p y no p  equivalga a afirmar la verdad y la falsedad de p; o el de que p entra9e forzosamente la negaci;n de la negaci;n de p (tal entra9amiento no es vlido en ciertas l;gicas paraconsistentes, p.ej.).  \X  2." La l;gica transitiva de Pe9a y la l;gica clsica En principio, Pe9a suscribe una teor1a de la l;gica que recalca la falibilidad de todo nuestro conocimiento y, por consiguiente, la revisabilidad en principio de nuestros postulados l;gicos y tambi)n de nuestras reglas de inferencia. Tambi)n en eso marcha Lorenzo Pe9a por una senda como la de Quine, aunque va en eso ms lejos y es ms consecuente que Quine. Sin embargo, en la prctica, Pe9a opta por una l;gica en cierto modo muy conservadora: una l;gica que sea una extensi;n conserva ti va de la l;gica clsica. Ahora bien, eso parecer1a no poder suceder si es que la l;gica transitiva de Pe9a es "como de hecho lo es" una l;gica paraconsistente. La explicaci;n estriba en esto: la l;gica de Pe9a resulta ser una extensi;n conservativa de la clsica cuando el signo de negaci;n de la l;gica clsica es traducido al lenguaje de su propia l;gica, no como `~' "que )l lee meramente como `no'", sino como `' "o sea `no8 en absoluto', o `es del todo falso que'. En cambio, la l;gica transitiva de Pe9a es paraconsistente, no respecto a esa negaci;n fuerte, `', sino tan s;lo respecto a la negaci;n simple, `~'. Los constre9imientos que ha estipulado Lorenzo Pe9a para que una l;gica sea, en un sentido laxo, correcta  son los siguientes. Debe contener unas conectivas de conyunci;n, `y', y de disyunci;n, `o', que cumplan las propiedades de los operadores reticulares de cruce y junci;n respectivamente; eso quiere decir que un enunciado p o q , p.ej., debe significar lo mismo que q o p  y, por ende, ambos deben ser reemplazables en cualquier contexto ()sa es en particular la condici;n de conmutatividad de la disyunci;n; similarmente se define la de la conyunci;n, y las otras propiedades reticulares conocidas: idempotencia, asociatividad, absorci;n y mutua distributividad). Luego, para que un signo sea una negaci;n Pe9a estipula condiciones sumamente fuertes: deben valer para )l los principios de no contradicci;n y de tercio excluso, las leyes de DeMorgan (vide infra) y la regla de la doble negaci;n ( a saber: un enunciado se deduce de su doble negaci;n y viceversa). Por Cltimo, para la negaci;n simple estipula Pe9a que sea involutiva ( p  y no no p  son intercambiables y significan lo mismo), mientras que para la negaci;n fuerte deben valer tanto el silogismo disyuntivo (ya examinado ms arriba) cuanto la mutua intercambiabilidad entre p  y p y p . El resultado es que el sistema es exactamente igual a la l;gica clsica mientras no se consideran otros functores que los clsicos de disyunci;n, conyunci;n y negaci;n fuerte (el condicional es definible con disyunci;n y negaci;n fuerte, p.ej., a la manera clsica: p si q  abrevia a p o es del todo falso que q ); en eso precisamente estriba el que ese sistema sea una extensi;n conservativa de la l;gica clsica. Adems, si, en lugar de tomar esa negaci;n fuerte, tomamos s;lo la negaci;n simple, `~', ms la conyunci;n y la disyunci;n asi como el condicional previamente definido (definido con negaci;n fuerte "lo cual no quiere decir que ahora incluyamos a la negaci;n fuerte entre+o.,,55 los functores que tomamos, sino que tomamos el condicional como primitivo), tenemos: que el sistema resultante es la l;gica positiva clsica ms unos principios para la negaci;n que incluyen doble negaci;n ( p si y s;lo si no no p ), tercio excluso y nocontradicci;n, asi como DeMorgan (que son dos, a saber: No p y no q, si, y s;lo si, No: p o q ; y el resultado dual de reemplazar en tal f;rmula `y' por `o' y viceversa); pero ninguna versi;n del principio de contraposici;n. ( Si p s;lo si q, entonces: no q s;lo si no p ). Muchos cultivadores de la l;gica paraconsistente "salvo en la escuela relevantista" piensan que debe conservarse la l;gica clsica en todo aquello que no entra9e la regla de Escoto (la regla que de un par de premisa s mutuamente contradictorias permite extraer cualquier conclusi;n y asi trivializar todo sistema que contenga una contradicci;n). Las divergencias empiezan a la hora de averiguar qu) es precisamente lo que entra9a la regla de Escoto. Para Pe9a se trata del principio de contraposici;n. Dada su definici;n clsica del condicional, ese principio es equivalente a una versi;n del  \" teorema de silogismo disyuntivo (a saber: Si p o es del todo falso que q, y si nop, entonces no q ; presup;nese en tal equivalencia un principio de importaci;n  de la l;gica clsica, que naturalmente vale tambi)n en la transitiva, a saber: Si p entonces: q s;lo si r  equivale a Si p y q, entonces r ). En la l;gica transitiva no est contenido ese teorema (si que lo est, claro, el resultado de reemplazar en )l las dos ocurrencias de `no' por sendas ocurrencias de `no8 en absoluto'). En esa medida puede coincidir Pe9a con los relevantistas cuando )stos denuncian el silogismo disyuntivo como la fuente de la regla de Escoto; pero es que en el marco del sistema formal de Pe9a es indiferente apuntar como reo al silogismo disyuntivo o al principio de contraposici;n fuerte. Pe9a en sus presentaciones axiomatizadas los reduce a dos primitivos: negaci;n fuerte (o alternativamente un functor de afirmaci;n fuerte, que se leer `Es totalmente verdad que') y el functor shefferiano `ni8 ni', con aplicaciones del cual se definen los otros dos.  \R  3. La adici;n de otros functores no clsicos El sistema formal de Pe9a, la l;gica transitiva, tiene la ambici;n de aproximarse hasta donde quepa a dar un tratamiento riguroso del mayor mbito posible de afirmaciones y de razonamientos usuales. Dado el lugar que )l concede a las expresiones de gradualidad, lugar que, a su juicio, estar1an )stas ocupando de hecho en el pensamiento y el habla corrientes, no es de extra9ar que Pe9a se esfuerce por dar entrada en su sistema a functores que, por su combinaci;n, permitan expresar infinitas matizaciones o gradualizaciones. En primer lugar, incluye un functor de equivalencia, `', cuyo sentido intuitivo e.s )ste: pq  es verdad si, y s;lo si, p es tan verdadero como q, ni ms ni menos; se leer pues: p en la (misma) medida en que q . Con )l ms el de conyunci;n  \& def1nese una implicaci;n, `', que se leer as1: pq  ser: p s;lo en la medida en que q  ( pq  abreviar a: (pUq)p ; alternativamente, hubiera podido introducirse `' como primitivo, defini)ndose pq  como (pq)U(qp) ). Esos functores estn dise9ados de manera que pq  sea verdad s;lo cuando p  signifique lo mismo que q  (es una identidad proposicional, ms fuerte, ms exigente, que el mero bicondicional). Notemos esto: como la negaci;n d)bil es involutiva, p~~p  ser un teorema;+o.,,55 mientras que no lo ser pp . La justificaci;n que parece aducir Pe9a para introducir ese functor de equivalencia es que en el habla comCn se diferencian las expresiones como `en la medida que' (o `s;lo en tanto en cuanto' "o en otros idiomas `insomuch as', `pour autant seulement que', `quatenus', etc.) (Por eso, en la l;gica transitiva de Pe9a vale el principio de mutua intercambiabilidad entre los equivalentes, a saber Si pq, entonces sr , difiriendo r de s a lo sumo por contener ocurrencias de p en sitios donde s contenga ocurrencias de q; pero no vale ninguna regla similar para el mero bicondicional.) Un punto a notar: Pe9a exige para esa implicaci;n que valga el principio de abducci;n , a saber: (p~p)~p ), llamado tambi)n consequentia mirabilis  o Clavius  (o, alternativamente, )ste otro: (pq)~(pU~q) : en la medida en que una proposici;n implique a otra, no ser verdadera la conyunci;n de la primera con la negaci;n de la segunda; n;tese que, dados otros principios ms arriba estipulados, este esquema es equivalente al principio de abducci;n). Ahora bien, si existe un hecho, r, que sea a la vez verdadero y falso (o sea: que sea verdadero cuando tambi)n sea verdadera su negaci;n, ~r), entonces, como de esas premisas, r  y ~r , por la regla de adjunci;n se deducir rU~r , de ellas, por el principio de abducci;n, "dado que el  \ principio de contraposici;n y por lo tanto tambi)n la regla del modus tollens valen para la implicaci;n y la negaci;n simple" se desprender, para ese r en particular: ~(rr). Ahora supongamos que a9adimos tambi)n (como lo hace Pe9a en su axiomatizaci;n) que, para cualesquiera p y q: (pp)(qq) : tanto se equivale a s1 un hecho cuanto se equivalga a s1 mismo otro hecho (ni ms ni menos). Resultado: ser verdad ~(pp) , para cualquier p  (Pe9a llama a este esquema el principio de Herclito ). Y eso sucede en la l;gica transitiva de Pe9a. Consecuencia curiosa: en esa l;gica es teoremtico el esquema llamado de Boecio ( ~(p~p) ). (La prueba explota la validez del principio de intercambiabilidad de los equivalentes.) Sorprendentemente acaso, ello aproxima la l;gica transitiva de Pe9a a las llamadas conexivistas, las cuales en general admiten ese esquema. Otro functor que a9ade Pe9a como primitivo es una especie de superconyunci;n , que )l lee como no s;lo8 sino tambi)n . La idea intuitiva es que no s;lo p, sino tambi)n q  puede ser menos verdadero que p y tambi)n menos verdadero que q, cuando p y q son en parte verdaderos y en parte falsos. Con una ingeniosa axiomatizaci;n se asegura as1 que puedan definirse infinitos functores de matiz veritativo (demostrablemente no equivalentes, sino irreducibles entre s1); p. ej., un functor `Es muy verdadero que', que se define con una sola aplicaci;n de esa (super)conyunci;n para dos conyuntos id)nticos. (La superconyunci;n no es idempotente en general. La idea de Pe9a al respecto es que esa (super)conyunci;n de insistencia es la que se est dando, aunque elidido, en frases como Es duro, duro!', que segCn )l equivale a `Es muy duro'.) Esa noci;n de superconyunci;n parece artificial, como un invento que s;lo se justifica por los resultados que con )l se obtienen "cual ser1a la definibilidad, a trav)s suyo, de functores mCltiples que expresen diversos matices, entre ellos precisamente )se de `muy'. Pero veamos c;mo opera tal functor de superconyunci;n en los modelos propuestos por Pe9a. Sea un intervalo cerrado de nCmeros reales (provisionalmente) tomado como el dominio de valores de verdad; vamos a suponer que es el que va de 0+o.,,55 a 1. En )l la superconyunci;n entre dos oraciones, p y q, con sendos valores de verdad ser una oraci;n cuyo valor de verdad sea el producto multiplicativo de esos otros dos; si meramente decimos p y q  Y si tanto p como q tienen valores intermedios entre el 0 y el 1, entonces el valor de tal enunciado ser el menor de entre esos dos valores; pero en cambio al decir no s;lo p sino que adems q  estar1ase diciendo algo ms fuerte, ms comprometido, por decirlo as1, algo que, en ese caso, tendr un grado de verdad por debajo de cada uno de los dos dados. (Obviamente, cuando p, o q, tiene como valor 0 ; 1, no habr diferencia entre conyunci;n y superconyunci;n.) Lo que parece llevar a Pe9a a creer que su postulaci;n de esa superconyunci;n no es un mero artificio Ctil es que )l piensa poder detectar una diferencia semntica, en el habla corriente, entre el mero decir `y' sin insistencia, y ese otro `y' con insistencia que se expresar1a mejor con expresiones como `no s;lo8 sino tambi)n' y otras  semejantes ( adems de que8, ); en el caso de )stas Cltimas se estar1a operando una interacci;n entre los valores de verdad de los dos conyuntos de tal manera que el resultado no estuviera forzosamente dado de antemano, siendo el de uno de los dos conyuntos dados, sino algo resultante de esa interacci;n; algo, pues, que no estar presente mientras no se haya efectuado dicha interacci;n. Diciendo p y q  uno se comprometer1a tan s;lo a lo menos verdadero de entre los valores de p  y de q ; diciendo No s;lo p, sino que adems q  uno se comprometer1a a una verdad resultante de las de p  y de q  por mutua acci;n de insistencia de la una en (o con) la otra. Cuando sea s;lo parcialmente verdad que p y s;lo parcialmente verdad que q, enunciar la superconyunci;n de ambas oraciones ser, pues, comprometerse, por la insistencia o pretensi;n de refuerzo mutuo, a algo que, siendo de suyo ms fuerte o exigente, cuadra menos con una situaci;n como la descrita; as1 que tal enunciado resultar menos verdadero a la postre que cada uno de los dos miembros dados. Si existe un functor as1, no ser idempotente en general, puesto que el resultado de esa acci;n o interacci;n lo mismo afecta a dos miembros de diverso valor veritativo que a dos miembros con el mismo valor de verdad "salvo cuando uno de los valores sea 0 ; 1 El tercer functor que a9ade Pe9a como primitivo en su sistema es uno que puede leerse (que )l lee) como `Es 1nfimamente verdad que' o `Es infinitesimalmente verdad que' o `Es un s1 es no verdad que'. Su idea intuitiva subyacente es que tiene que haber un 1nfimo grado de verdad diverso de la falsedad total, es decir un grado de verdad que, sin ser nulo, sea ms peque9o que cualquier otro grado positivo de verdad. Y lo que ms parece llevarlo a tal postulaci;n es el poder as1 extender el clculo sentencial que est construyendo a un clculo cuantificacional (a fin de bloquear un sorites que llevar1a, si no a la trivialidad, o sea a que todo enunciado fuera verdadero; lo cual en efecto deber1a suceder si no hubiera punto de ruptura antes de precipitarse en la falsedad total; los detalles t)cnicos de ese razonamiento se dejan aqu1 de lado). Ahora bien, el resultado de combinar ese functor de verdad 1nfima con los anteriores es una riqueza enorme de expresiones de matiz, que puede rayar en lo sutil a juicio de muchos. Se le ha reprochado al sistema su barroquismo. Pe9a se defiende del reproche alegando que constituye un intento de acercarse a la complejidad de la realidad y de nuestro pensamiento ordinario. (Notemos, entre par)ntesis, que en sus presentaciones formales suele introducir Pe9a, como s1mbolo primitivo, no ese functor mondico de verdad 1nfima, sino una constante sentencial, que significar1an+o.,,55 lo 1nfimamente verdadero . Pero iguales resultados se obtendr1an, con alteraciones apropiadas en la base axiomtica, si se tomara como primitivo el indicado functor "y luego se definiera la aludida constante.) El cuarto y Cltimo functor que a9ade Pe9a es un operador, `B', tensorial , con las propiedades del operador de necesidad en una l;gica modal fuerte (clsica) como lo es el sistema S5 de Lewis; con un a9adido: la regla de G?del (a saber: de p  dedCcese Bp ) es en la l;gica de Pe9a vlida para toda oraci;n p  (no s;lo para todo teorema). Pe9a lee ese functor como `Es afirmable con verdad que' o `Es verdad en todos los aspectos que'. Su idea intuitiva es que, aunque sea afirmable con verdad una disyunci;n, puede que ninguno de los disyuntos lo sea (en absoluto): en unos aspectos lo sern unos disyuntos, en otros los otros. (Similarmente, aunque sea afirmable con verdad que hay algo tal o cual, puede que de ningCn ente determinado en particular sea afirmable con verdad que ese ente es tal o cual.) Esa idea de que la realidad est dividida en aspectos  se parece a la concepci;n de los mundosposibles, pero con la diferencia de que esos aspectos  ser1an todos ellos componentes de la realidad, y no meramente alternativas, segCn suelen entenderse los mundos posibles. Ms que del valor o del grado de verdad de un hecho o de un enunciado, habr, pues, que hablar de la serie de tales valores o grados; siendo afirmable con verdad s;lo aquello que en todos los aspectos tenga algCn grado positivo de verdad, por bajo que sea. Desde el punto de vista puramente l;gico un resultado de introducir ese functor `B' es la p)rdida del metateorema de la deducci;n: puede que de una premisa, p, se deduzca una conclusi;n, q, sin que sea verdad p s;lo si q  (tal ser el caso si q=Bp). Pero esa p)rdida no es excesiva, pues hay en el sistema versiones vlidas del metateorema de la deducci;n (generalizado); (p.ej., que, si del conjunto A de premisas se deduce q, abarcando A a p y siendo A' el resultado de eliminar p de A, entonces de A' se deduce: Si Bp, entonces q ). Ms dif1cil de contrarrestar parece una objeci;n filos;fica: a menudo afirmamos algo sin creer que sea verdadero en todos los aspectos  "si es que los aspectos de lo real tienen algo que ver con mundosposibles, o con lapsos temporales"; a ese reparo opone Pe9a que esas afirmaciones son el1pticas y en ellas se sobreentiende un cierto operador prefijado A, le1do como Ahora en es te mundo de la experiencia cotidiana , con lo cual resultar1a que, en esos casos, aunque sea totalmente falso que Bp, ser1a empero verdadero BAp; ese operador, A, no es sin embargo incorporado por Pe9a a su clculo sentencial, sino que su introducci;n dar1a lugar a una extensi;n (conservativa) de dicho clculo. Terminaremos esta secci;n explicando por qu) usa Pe9a el r;tulo de `transitivo' para nombrar a su propio sistema de l;gica. Su l;gica es transitiva en un doble concepto. Primeramente como l;gica de las transiciones, o sea de los mrgenes o  \% franjas entre el s1 y el no: igual que el naranja es una transici;n del amarillo al rojo,  \ & igual que el es un trnsito de un estar aqu1 a un estar all, los grados de verdad postulados por Pe9a ser1an transiciones graduales del totalmente s1 al totalmente no, o viceversa. En segundo lugar, piensa Pe9a que su l;gica merece ms especialmente la denominaci;n de transitiva por postular para cada grado de verdad tanto un umbral superior cuanto un umbral inferior, los cuales ser1an los puntos inmediatos de trnsito hacia arriba y hacia abajo; cuando el grado de verdad es total (el ms elevado), no hay ms umbral superior que )l mismo "no hay ya nada hacia lo cual ascender. Por+ o.,,55 otra parte, el umbral superior de un umbral superior es id)ntico a )ste Cltimo, sucediendo igual identidad entre un umbral inferior y su propio umbral inferior; la falsedad total, la plena falta de verdad, s;lo tiene un umbral superior, que es el grado 1nfimo de verdad. Tales umbrales son, pues, puntos de arranque de trnsitos en uno u otro sentido; segCn Pe9a, su presencia es lo que hace que el trnsito sea genuinamente un trnsito, en vez de ser tan s;lo un acercamiento indefinido hacia un t)rmino o polo; ser1a ms bien un aut)ntico trnsito por incluir un punto de contacto, punto que, estando en el propio trnsito, a la vez, sin embargo, est) contiguo al t)rmino o polo en cuesti;n "coincidiendo incluso con tal t)rmino o polo cuando este mismo sea un umbral.  k: YSecci;n II. Observaciones criticas sobre el sistema l;gico de Loren ki '_zo Pe9a  \ )a  1. L;gica y ontolog1a L;gica y ontolog1a hllanse 1ntimamente interligadas. La ontolog1a trata de las caracter1sticas generales de lo que es, en cuanto es, o sea: de los principios clasificatorios fundamentales del ser. Por otro lado la l;gica se dedica a la tarea de erigir ;rganos de inferencia basados en conceptos extremadamente amplios, como los de objeto y de relaci;n. La dependencia mutua entre las dos disciplinas es, pues, obvia. Anteriormente, cuando se cre1a, impl1cita o expl1citamente, que hab1a una Cnica l;gica, la ontolog1a se basaba, como no pod1a dejar de ser, en tal l;gica. En la actualidad, como se sabe que hay, en principio, varias l;gicas alternativas, se ha constatado que hay, por lo menos a t1tulo de sistemas hipot)ticodeductivos, ontolog1as rivales asentadas en l;gicas diferentes. P.ej., una l;gica paraconsistente mu)strase capaz de servir de cimiento para ontolog1as que admiten objetos dotados de propiedades contradictorias. Se han construido teor1as de conjuntos paraconsistentes, ms fuertes que los sistemas tradicionales, que contienen el conjunto R de Russell, que es tal que R se pertenece y no se pertenece a s1 mismo. Entonces, pues, no hay obstculos l;gicos para que se elaboren ontolog1as que engloben al conjunto de Russell y que, por eso, sean inconsistentes, aunque no sean triviales en el sentido de que en ellas t;rnase posible demostrarlo todo. Sin mayor rigor, y parafraseando a Quine, es l1cito afirmar que existir significa ser el valor de una variable en cierto lenguaje que posea determinada l;gica; en ciertos aspectos, cuanto ms fuerte sea la l;gica, ms d)bil ser la ontolog1a, y viceversa. En el estado presente de la l;gica y de la ontolog1a hay tres concepciones fundamentales referentes a las relaciones existentes entre ellas. Nosotros las denomi \$ namos as1: logicismo, ontologismo y medianismo. Para la primera, la ontolog1a debe derivarse de la l;gica; algunos de los trabajos de Russell, especialmente los que versan sobre atomismo l;gico, se incluyen en esa corriente. Para la segunda, la l;gica adviene de la ontolog1a; Frege, p.ej., forma parte del grupo de los ontologistas. Finalmente los medianistas afirman que ni la l;gica se asienta en la ontolog1a ni )sta en aqu)lla; al contrario, ambas se constituyen por adaptaci;n y complementaci;n mutuas. Esta Cltima es nuestra posici;n. Adems,:+ o.,,55 creemos que el valor real de un sistema l;gicoontol;gico debe ser juzgado no s;lo por criterios internos al sistema, sino tambi)n por consideraciones de naturaleza pragmtica, en acepci;n amplia. Desde que hay varias l;gicas y varias ontolog1as posibles, el fil;sofo s;lo las puede escoger para una finalidad dada, de acuerdo con criterios tales como poder explicativo, intuitividad, simplicidad, eficiencia te;rica etc. As1 y todo, la estructuraci;n de sistemas l;gicos alternativos, de naturaleza intr1nsecamente matemtica, figCrase de veras relevante, porque nos auxilia a percibir la textura de los problemas ontol;gicos desde nuevos ngulos. Lorenzo Pe9a establece su l;gica inmerso en la ontolog1a. Partiendo del gradualismo de la experiencia, analizndolo en sus detalles e interpretndolo como real, el fil;sofo espa9ol formaliza su sistema l;gico. El se encuadra, por consiguiente, entre los ontologistas. Por a9adidura, el ontologismo al cual )l se adhiere es una forma de ontologismo que se puede bautizar de clsico: la ontolog1a en sus l1neas maestras evid)nciase Cnica y, por tanto, la l;gica que de ella se deriva debe ser, tambi)n, un1vocamente determinada. Sin embargo, el ontologismo clsico, figCrasenos sujeto a reparos. El principal consiste en lo siguiente: si la ontolog1a inicial acarrea que la l;gica resultante es Cnica, eso entra en conflicto con la situaci;n actual en el campo de la l;gica, donde impera el pluralismo. Y contra los hechos no hay argumentos. De modo espec1fico, el ontologismo de Lorenzo Pe9a se halla expuesto a la cr1tica de que tal vez el gradualismo con el cual )l comienza sus indagaciones no sea real, sino solamente manifestaci;n de la imprecisi;n de nuestro lenguaje y de nuestro conocimiento momentneo. La salida abierta para Pe9a (y los ontologistas en general) consiste en admitir que su sistema l;gicoontol;gico constituye uno de los instrumentos posibles de coordinar la realidad (o una porci;n de la misma), al lado de otros, por ms que posea cualidades que a sus ojos lo hagan superior a los dems, relativamente a aspectos bien precisos. Como Pe9a acepta el falibilismo en el seno de la l;gica, tal conclusi;n seguramente no le parecer fuera de prop;sito. De paso notemos que ponderaciones anlogas a las delineadas arriba contra el ontologismo son formuladas contra el logicismo. De entre las tres concepciones esbozadas, la Cnica defendible en el presente es el medianismo pragmtico. No obstante, la l;gica transitiva, como sistema l;gico puro, no es alcanzada por la cr1tica precedente y con toda seguridad se incorporar, de manera significativa, al dominio de la l;gica y de la matemtica.  \h%  2. Monismo y pluralismo Como ya dejamos claro, parece indudable que la tendencia en el campo de la l;gica, hoy, es pluralista. Los l;gicos, en cuanto l;gicos, investigan los ms variados sistemas, que se emplean en las circunstancias ms diversas. El lema del pluralismo l;gico es el de que, en l;gica, cualquier sistema no trivial es aceptable en principio. Por apartados de la realidad que puedan mostrarse a,primera vista, regularmente encuentran aplicaciones en situaciones concretas y prcticas. As1, la l;gica paraconsis+ o.,,55Ԯtente, nacida de cuestiones sumamente te;ricas, ha acabado utilizndose en inteligencia artificial, en los llamados sistemas especialistas. En cuanto al monismo l;gico, )l es lo opuesto al pluralismo: implica que hay s;lo una l;gica Cnica que merezca plenamente la designaci;n de l;gica. En nuestra opini;n en la obra de Pe9a hay como una tensi;n entre monismo y pluralismo. Si )l, efectivamente, acepta el monismo, entonces su. concepci;n se evidencia sujeta a cr1ticas que reputamos serias. Nos ocuparemos, a continuaci;n, de s;lo algunas de ellas. Si la l;gica transitiva es entendida como la Cnica l;gica que da cuenta de lo real, que refleja, directa o indirectamente, la realidad, eso conduce a dificultades. En efecto, se puede probar que hay infinitas l;gicas distintas de la transitiva que tambi)n dan cuenta de lo real. Y para justificar la l;gica transitiva, de entre una familia de otras emparentadas con ella, no nos podemos limitar s;lo al tipo de argumentaci;n aducida por Pe9a. Se tiene p.ej. que tomar en consideraci;n el sistema del conocimiento como un todo, lo que hoy nos parece casi impracticable para una Cnica persona; en efecto, se necesitar1a para llevarlo a cabo un equipo interdisciplinar. Fijando ideas, nos referiremos a un punto bien espec1fico: quien arguye a favor de la adopci;n de un sistema l;gico de aplicaci;n universal tiene que estar al tanto de t;picos como los fundamentos de la mecnica cuntica, de la teor1a de los campos cuantizados, de los procesos estocsticos, etc., en el caso de que desee proceder de manera sensata. Yeso porque se sabe, p.ej., que Schr?dinger defendi; la tesis de que el concepto de igualdad no se aplica a las part1culas elementales, que Bohr cre1a que cuando no se observa una part1cula no tiene sentido hablar de sus propiedades mecnicas, que autores como Putnam piensan que las peculiaridades del ret1culo de los observables de la mecnica cuntica acarrean la imprescindible mutaci;n de la l;gica de la f1sica, etc. Sin ponderar, con conocimiento de causa, detalladamente, t;picos similares, para restringirnos a tres de la f1sica, no se puede exigir una l;gica que posea valor universal de modo consecuente. En otras palabras, quien propone una nueva l;gica o una nueva matemtica, digamos la de Solovay, solamente tiene condiciones de aducir argumentos a favor de sus ideas, debido a las limitaciones de su conocimiento, en regiones bien restringidas del campo cient1fico. La era de los fil;sofos que sin salir de sus escritorios legislaban sobre el mundo en su totalidad parece haber llegado al fin, sobre todo despu)s del advenimiento de la filosof1a anal1tica. Como Lorenzo Pe9a pertenece, quiz con algunas salvedades, a la filosof1a anal1tica, concluimos que )l es pluralista en tesis, aunque proponga, como monista, la l;gica transitiva en ciertas reas del saber. (l ser1a, pues, pluralista global y monista local.  \p&  3. Cuestiones de detalle Hay diversos puntos espec1ficos que nos gustar1a debatir y que se refieren, directa o indirectamente, a la l;gica transitiva. Sin embargo, dentro del esquema de este art1culo, precisamos restringirnos a algunos de entre ellos, que estn lejos de constituirse por s1 solos en todos los ms importantes.* o.,,55Ԍ 1) La existencia de hechos negativos repugna a la mayor1a de los fil;sofos. Aunque la teor1a de Pe9a no escape a cr1ticas, ella se muestra, p.ej., menos atacable que la de Russell, cuando admite tales hechos.#  Ya vimos que Pe9a encara lo real como patentizndose, de manera esencial, nebuloso, imperando en ello la gradualidad. Bajo tal prisma parece comprensible la existencia de hechos negativos. Tenemos, no obstante, la impresi;n de que se debe profundizar bastante en los anlisis por )l hechos, en caso de que se quiera volver enteramente plausible la existencia de esos hechos. Y se vuelve inevitable la necesidad de investigar con cuidado los  \@ hechos conyuntivos, disyuntivos, negativos fuertes, cuantificacionales, etc., estableciendo tambi)n sus existencias y dando una explicaci;n racional de su inexistencia. Es )se un tema ontol;gico que merece examen minucioso, ade \0 ms de que no se puede dejar de agitar la cuesti;n epistemol;gica de c;mo llegamos a saber todo eso etc. Surgen entonces ante nosotros problemas como los siguientes: Es difusa la metal;gica de la l;gica transitiva? De ser afirmativa la respuesta, c;mo acaba la l;gica clsica siendo utilizada metateor)ticamente como lo hace Pe9a? De ser negativa la respuesta, de qu) manera se explica que no sea gradualista la teor1a de la gradualidad? Las regiones del universo donde no gobierna la gradualidad no pueden ser tratadas por la l;gica y la matemtica usuales? Pueden abordarse por alguna l;gica de 1ndole no gradualista, p.ej. alguna l;gica paraconsistente?#  2) La l;gica transitiva tiene sentido aun independientemente de las tesis filos;ficas abrazadas por Pe9a. Dicho de otra forma, la cr1tica de sus principios filos;ficos, aunque pertinente, no invalida el sistema que ellas moldearan. Recalquemos que, desde la perspectiva l;gicomatemtica, la l;gica transitiva forma parte del rol de las paraconsistentes (y de las difusas) y es tan interesante como la mayor1a de ellas, no solamente como l;gica pura, sino tambi)n por sus aplicaciones. En s1ntesis, dadas sus caracter1sticas t)cnicas el sistema l;gico de Lorenzo Pe9a puede ser utilizado sin que nos comprometamos con sus presupuestos filos;ficos, como ocurre con la l;gica intuicionista, que encuentra aplicaciones incluso en manos del l;gico clsico.#  Nos refer1amos ms arriba a la circunstancia de que la l;gica transitiva encierra una negaci;n clsica, conteniendo, en verdad, la l;gica comCn en su mbito.#  Eso la convierte en candidata natural para investigaciones metal;gicas y, en general, metate;ricas, ya que la estructura de la l;gica tradicional es bien conocida y la de la transitiva consiste en una extensi;n conservativa de la primera. Esta l1nea de razonamiento nos conduce a entrever que la l;gica transitiva ser1a el inicio del uso de herramientas como el forcing  y los modelos booleanos en el tratamiento del gradualismo, de la nebulosidad y del cambio. Una tal indagaci;n estar1a bien en conformidad con la visi;n amplia de Lorenzo Pe9a.#) o.,,55Ԍ 3) La tensi;n ya notada entre el ontologismo y el falibilismo de Pe9a inevitablemente dar lugar a la construcci;n de diversas l;gicas transitivas no equivalentes entre s1, lo que, para nosotros, es muy saludable. Se tendr1a entonces, dentro del mbito de la l;gica paraconsistente, una extensa provincia, la de la transitividad, consagrada al gradualismo y a temas emparentados y que englobar1a el estudio de los procesos y del devenir; en otros t)rminos, ella se vincula al pensamiento dial)ctico, algo explorado por Pe9a.#  Bastan las observaciones que acabamos de hacer para que se perciba el significado de la l;gica transitiva para la ciencia y para la filosof1a. En contrapartida ellas tal vez se opongan a la visi;n del l;gico espa9ol, mas tenemos la certeza de que el progreso en el dominio de la l;gica transitiva traer ciertamente la ampliaci;n del alcance de la transitividad, abriendo las  \. puertas al pluralismo transitivo.#  4) Algunos de los postulados que rigen la l;gica transitiva no son enteramente intuitivos. P.ej. los siguientes: a) El principio ~(pp) ; b) El postulado que garantiza un grado 1nfimo de verdad.#  En el futuro, sin duda, cuando la l;gica transitiva sea cultivada de forma sistemtica, la tendencia ser la de que se edifiquen l;gicas transitivas alternativas, en las cuales presupuestos como los citados no sean hechos. As1, v.g., nada hay contra el uso, en lugar de los nCmeros reales comunes, de los reales noestndar de Robinson o, en general, de un cuerpo no arquim)deo conveniente.#  k\ Secci;n III. Conclusi;nă La discusi;n efectuada ha procurado patentizar algunos rasgos marcantes de la postura l;gica (y ontol;gica) de Lorenzo Pe9a. Desde luego pongamos de relieve que su sistema, encarado como edificaci;n matemticoformal, mu)strase de enorme relevancia. No tenemos noticia de ninguna tentativa tan profunda y tan detallada para el entendimiento de la significaci;n de la gradualidad. Desde este punto de vista, sin embargo, para que la l;gica transitiva subsista t;rnase imprescindible que los l;gicos y los matemticos se ocupen de ella y la hagan progresar. Puede parecer extra9o, mas la norma es la de que una teor1a l;gicomatemtica, en cuanto estructura abstracta,  \ s;lo posee importancia efectiva en la medida en que sea cultivada por la comunidad de los l;gicos y de los matemticos. Bajo este aspecto, de todos modos, somos optimistas en lo tocante a la obra de Pe9a. Relativamente a la fundaci;n filos;fica subyacente a las construcciones del fil;sofo espa9ol, puede haber disputas y discordancias, como siempre pasa en el dominio de la filosof1a; nosotros mismo no estamos de acuerdo, en el conjunto, con su posici;n. Sin embargo, no se puede negar la originalidad del sistema resultante, tan orgnico y tan meticuloso, que nos hace recordar los grandes y bellos sistemas filos;ficos del pasado. Se halla fuera de duda que Lorenzo Pe9a ser reconocido por la posteridad como uno de los ms destacados fil;sofos espa9oles.+o.,,55Ԍ k Secci;n IV. Bibliograf1aă A continuaci;n facilitamos una lista de varios de los principales trabajos de Lorenzo Pe9a, en los cuales nos hemos basado para redactar la sucinta exposici;n cr1tica que precede. Tambi)n incluimos en la lista, adems de un libro del que somos autor (01), en el cual exponemos nuestra concepci;n de la l;gica, as1 como la rese9a cr1tica del mismo hecha por Pe9a (12), varios art1culos nuestros donde hemos desarrollado algunos de los temas considerados ms arriba, en la Secci;n 11. Quiz el lector halle interesante cotejar esas obras, lo cual le permitir entender mejor no s;lo las ideas de Pe9a, sino tambi)n nuestra posici;n, desde la cual juzgamos tales ideas. Asimismo incluimos otros libros en los cuales se tratan varios de esos t;picos.  \  01. da Costa, N.C.A., Ensaio sobre os fundamentos da l;gica. Husitec, SMo Paulo, 1980.#  \Q  02. da Costa, N.C.A., On the Theory of Inconsistent Formal Systems , Notre Dame  \M Journal of Formal Logic 15/4 (oct. 1975), pp. 497510.#  \  03. da Costa, N.C.A., The Philosophical Import of Paraconsistent Logic , Journal of  \ NonClassical Logic 1 (1982), pp. 119.#  \-  04. da Costa, N.C.A., Rese9a de 25. abajo, History and Philosophy of Logic 3/2 (1982), pp. 2259.#  05. da Costa, N.C.A. & Wolf, R.G., Studies in Paraconsistent Logic 1: The Dialecti \ cal Principle of the Unity of Opposites , Philosophia 9 (Ramat Gan, Israel, 1980), pp. 189217.#  \  06. Grana, N., Logica Paraconsistente, Loffredo Editore, Npoles, 1983.#  \q  07. Pe9a, L., Contradiction et V)rit): )tude sur les fondements et la port)e )pist)mo \m logique d'une logique contradictorielle. Lieja (B)lgica), 1979 (Tesis doctoral).#  \  08. Pe9a, L., Formalizaci;n y l;gica dial)ctica. Prepublicaci;n, PUCE, Quito, 1980#  \K  09. Pe9a, L., Apuntes introductorios a la l;gica matemtica elemental. Prepublicaci;n, PUCE, Quito, 1980.#  \  10. Pe9a, L., Rudimentos de l;gica matemtica. Prepublicaci;n, Universidad de Le;n, 1984.#  \##  11. Pe9a, L., Tres enfoques en l;gica paraconsistente , Contextos N 3 (1984), pp. 81130 y N 4 (1984), pp. 4972.#  \%  12. Pe9a, L., Critical Study of da Costas's Foundations of Logic , Logique et ana \& lyse N 100 (dic. 1982), pp. 44766.#  \'  13. Pe9a, L., Rese9a de 06. arriba, Theoria N 2 (San Sebastin, 1985), pp. 5737.#  \o) 14. Pe9a, L., Rese9a de 25. Contextos N 3 (1984), pp. 2415.  \*  15. Pe9a, L., Rese9a de N.C.A. da Costa, L;gica indutiva e probabilidade, Theoria N 4 (19867), pp. 18091.#+o.,,55Ԍ \  16. Pe9a, L., Negaci;n dial)ctica y l;gica transitiva , Cr1tica N 43 (M)xico, 1983), pp. 5177.#  17 Pe9a, L., Dialectical Arguments, Matters of Degree, and Paraconsistent Logic ,  \f in Argumentation: Perspectives and Approaches, comp. por Frans H. Eemeren et al., Foris, Dordrecht, 1987, pp. 42633.#  18. Pe9a, L., A Philosophical Justification of ManyValued Extensions of Classical  \ Logic , in Philosophie et Culture, ed. por Venant Cauchy, (ditions Montmorency, Montreal, 1988, Vol. 5, pp. 497504.#  19. Pe9a, L., Caracter1sticas t)cnicas y significaci;n filos;fica de un clculo lambda  \2 libre , in L;gica y filosof1a del lenguaje, comp. por S. Alvarez, F. Broncano y M.A. Quintanilla, Ediciones de la Universidad de Salamanca, 1986, pp. 89114.#  \  20. Pe9a, L., Un enfoque noclsico de varias antinomias de;nticas , Theoria N 789 (San Sebastin, 1988), pp. 6794.#  \  21. Pe9a, L., Fundamentos de ontolog1a dial)ctica, Siglo XXI, Madrid, 1987 (Ver especialmente Anejo N IV, pp. 36297.)#  \p  22. Pe9a, L., Contribuci;n a la l;gica de los comparativos , in Lenguajes naturales  \l y lenguajes formales 11, comp. por Carlos Mart1n Vide, Universitat de Barcelona, 1987, pp. 35160.#  23. Pe9a, L., Verum et ens conuertuntur: The Identity between Truth and Existence within the Framework of a Contradictorial Modal SetTheory , in 24, abajo.#  \B  24. Priest, G., Routley, R., & Norman, J., (eds), Paraconsistent Logic, Philosophia Verlag, Munich 1988.#  \  25. Rescher, N. & Brandom, R., The Logic of Inconsistency, Blackwell, Oxford, 1980.#  \  26. Rescher, N. ManyValued Logic, McGrawHill, New York, 1969.#  \  27. Rautenberg, W., Klassische und nichtklassische Aussagenlogik, F. Vieweg & Sohn, BraunschweigWiesbaden, 1979.#