WPC 2BR3|o 92-05-23 18:26 desarrollos recientes en l;gicas temporales cnf en L)rida por modificar notaci;n y revisar etcb)cr.ANELIA simple interl.DINA4 sans Npage/ESES .,,. 6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&EstndarBRUDGLYP.PRSXpi6&finitif@p@@FF MMx6&EstndarBRUDGLYP.PRSXh4,;  #Xh"^ vP)ERXP#    =separaci;n entre un cap. y su bibliogr.S  b a#      ك 2  Z*mELaurentius_PostScript_(HP_LJ_III.PS)LAURENTI.PRSXpiP;rEhhhh2.HXP 3'3'Standard6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXpi dddd X` hp x (#%'0*,.8135@8:FuuAuuuNNuuNu2_RiRR 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8476655169.9=n/n/n/ ,x   /b ۞ESES .,,. 6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXpi6&finitif@p@@FF MMx6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXpi   #/Xh"^ vP)E 8XP#    =# Rx2PkC!0'qP#" ^@   Desarrollos recientes en l;gicas temporales  por Lorenzo Pe9a`"#Nă   yNdddy  j " Algunos desarrollos recientes en la articulaci;n de  jJ %l;gicas temporales  R (bLorenzo Pe9a Instituto de Filosof1a del CSIC $b  Tv  *Copyright  Lorenzo Pe9a 1989 $b  HX +! 0ndice   1." Las l;gicas cronol;gicas y su motivaci;n filos;fica  ~W 2." El clculo de l;gica combinatoria Ac  ~W 3." El sistema de l;gica temporal At 4." Comentarios sobre las definiciones propuestas 5." Comentarios sobre los axiomas  ~J" 6." Hacia ulteriores desarrollos $b  [ . v  1."  Las l;gicas cronol;gicas y su motivaci;n filos;fica ă Es sin duda A. Prior el ms grande constructor de l;gicas temporales y a )l cabe adjudicar el t1tulo de fundador de ese tipo de l;gica. Sin embargo, la l;gica temporal que va a ser propuesta en el presente trabajo difiere en un punto central del g)nero de l;gicas desarrolladas por Prior y otros: )stas Cltimas son l;gicas del  T0 tiempo verbal, tense logics, en tanto que la que aqu1 va a venir propuesta pertenece  T! a un grupo que cabe denominar l;gicas cronol;gicas . En qu) estriba la diferencia? En que las l;gicas del tiempo verbal introducen como primitivos operadores que significan `Es pasado que' o `Es futuro que', o sus par;nimos. Por el contrario, una l;gica cronol;gica como la aqu1 brindada acude a un procedimiento totalmente diverso: en vez de asignar a los estados de cosas determinaciones absolutas de ser pasado o futuro, introduce relaciones temporales primitivas y tambi)n una cuantificaci;n sobre cuandos  (sean )stos instantes o lapsos: en nuestro caso sern lapsos por los motivos que irn saliendo a la luz). La ra1z de la divergencia entre la preferencia por l;gicas del tiempo verbal y por l;gicas cronol;gicas es una cuesti;n filos;fica. McTaggart distingui; la serie A (pasadopresentefuturo) de la serie B (antesdespu)s). Su argumento en contra de la existencia del tiempo es )sta: la serie B, sin la A, no es ninguna serie temporal, sino una serie ordenada atemporal; ahora bien, la serie A comporta que un acontecimiento sea, sucesivamente, pasado, presente, futuro, e.d. que posea determinaciones contradictorias; y, si se dice que no a la vez sino sucesivamente, entonces desencad)nase una regresi;n infinita que nada resuelve: el acontecimiento ser1a (p.ej.) pasadamente futuro, presentemente pasado y futuramente pasado; pero todo acontecimiento tiene esas determinaciones, s;lo que en diversos momentos. Y as1 al infinito. Ante esa dificultad, unos (los russellianos) insisten en que no hay ningCn presente absoluto, sino que `presente' es un de1ctico que designa en cada momento a esa momento; `pasado' y `futuro' son tambi)n t)rminos de1cticos: `antes de ahora' y `despu)s de ahora' (`ahora' y `presente' ser1an sin;nimos). Los russellianos dicen, pues, que:-=o.o.o.Ԍ (1) no hay momento temporal privilegiado;#  (2) no hay determinaciones temporales absolutas de ser pasado, presente o futuro;#  (3) lo que es verdadero o existente en un momento lo es tambi)n en cualquier otro en la misma medida;#  (4) por consiguiente no hay acontecimientos como la Gloriosa Revoluci;n antiborb;nica, sino hechos sempiternos (o, mejor, atemporales) como el que en 1868 tiene lugar dichaRevoluci;n;#  To  (5) si es verdad (a secas) que p, entonces o no tiene sentido decir  en el momento  T` t p  o, si s1 lo tiene, lo as1 dicho no es ni ms ni menos verdadero que el  TQ propio  p ;#  (6) no es verdad que `ahora' sea redundante o pleonstico "de suerte que de suyo tan verdadero o existente es lo que haya o suceda ahora como lo que haya o suceda luego o anteriormente.# En resumen, el tiempo es una dimensi;n ms del espacio tetradimensional.  Th Frente a esa posici;n de los detensers (los desverbalizantes ), los adeptos  TY de la serie A (los tensers) impugnan, punto por punto, cada una de esas seis tesis. Claro "dicen" que no `hay', en un presente atemporal, un momento privilegiado;  T; pero s1 lo hay en el presente temporal, Cnico que admiten los verbalizantes o  T. tensers. No voy a entrar aqu1 en glosar los argumentos, sin cesar bu1dos, que se arrojan a la cara los adeptos de sendos puntos de vista. De entrada dir) que mi propia posici;n est ms en la l1nea de los desverbalizantes. El mayor inconveniente de las teor1as de la serie A es que lo que dicen "a saber que el momento privilegiado y Cnico es )ste que hay y est transcurriendo ahora", una vez dicho y vehiculado por escrito, pasa a ser falso: era verdad cuando lo dec1an, pero ahora ya el ahora ha cambiado; y, si s;lo existe lo que existe ahora, entonces el ahora de que hablaban existi;, pero ya no existe; ni, por ende, son ya verdaderas las frases que figuran en sus libros, escritas otrora, y s;lo entonces verdaderas. (Sern verdaderas hoga9o prolaciones del mismo tipo o forma que )sas de anta9o; pero no las mismas.) Sin embargo, segCn ir perfilndose en los apartados siguientes de este trabajo, el enfoque que vendr aqu1 articulado dista de coincidir en todo con el de los russellianos. En cierto sentido (ya se ver cul) viene abandonada la tesis (1); eliminadas por completo las tesis (3), (4) y (5). Hasta la tesis (2) puede ser abandonada en un enfoque como el aqu1 brindado. Lo Cnico que asocian 1ntimamente a nuestro enfoque con el campo russelliano es "aparte de una versi;n atenuada de la tesis (1)" la aceptaci;n de la tesis (6). He hablado de la posici;n de los russellianos. Refi)rome con ello a la del propio Russell? Sin duda "aunque no forzosamente en el detalle de esas seis tesis y sus formulaciones aqu1 contenidas. Ahora bien, la actitud de Russell sobre el tiempo ha sufrido evoluci;n. Siempre estuvo atra1do y tentado por Leibniz, en esto como en otras cosas. Mas al principio pensaba que Leibniz estaba equivocado al7+o.,,&& querer reducir las determinaciones temporales a relaciones entre m;nadas o estados de las m;nadas, e.d. entre objetos o acontecimientos o hechos. Sin embargo, en su evoluci;n ulterior Russell acab; adoptando, con una formulaci;n  T ms rigurosa, un punto de vista parecido. En On Order in Time  y en  Human  T Knowledge  adopta la siguiente posici;n. Def1nese una relaci;n de anterioridad o precedencia, que se dar1a por grados: si e  y e son acontecimientos ninguno de los cuales precede totalmente al otro, es que hay entre ellos un solapamiento temporal y, en tal caso, son parcialmente simultneos. Un acontecimiento tiene duraci;n si algCn acontecimiento sucede mientras )l sucede. Un instante es un conjunto i de acontecimientos tal que cada miembro de i solpase temporalmente con los dems miembros de i y nada que no pertenezca a i se solapa temporalmente con todos los miembros de i. Ese enfoque de Russell ha ejercido gran influjo en la puesta en pie del planteamiento brindado en el presente trabajo; y, por lo tanto, en la bCsqueda de una articulaci;n formalizada como la que ofrezco ms abajo, en el apartado 2. Pero existen discrepancias considerables entre ambos enfoques. El mismo no postula instantes sino lapsos. No considera a los lapsos como conjuntos de acontecimientos sino como determinaciones de hechos. La diferencia entre conjunto (en sentido estricto) y determinaci;n es )sta: el clculo l;gico aqu1 usado no es una teor1a de tipos, como la l;gica russelliana, sino un clculo combinatorio en el cual no hay barrera categorial alguna, teniendo siempre sentido afirmar o negar de un ente lo que quepa con sentido afirmar o negar de otro; t;mase como primitiva la relaci;n  T0 de serunadeterminaci;nde ; y cualquier ente es una determinaci;n, de suerte que de cada ente e tiene sentido, dado un ente d (una determinaci;n, pues) decir  T que e tiene (ejemplifica, posee) d, e.d. que d es una determinaci;n de e; eso ser verdad o no, lo ser en mayor o en menor grado, o en ningCn grado, lo ser ms en unos aspectos y menos o nada en otros; pero tiene sentido; por Cltimo ese v1nculo entre entes y determinaciones de ellos no tiene forzosamente que estar sujeto a todo los requisitos estipulados por los codificadores de teor1as de conjuntos para la relaci;n de membr1a. P.ej., la extensionalidad: la teor1a de determinaciones aqu1 propuesta es extensional pero con una versi;n mucho ms atenuada de la extensionalidad que la clusula. A los principios conjuntuales de comprensi;n y separaci;n corresponde T r en nuestro clculo de determinaciones un principio similar (de conversi;n  T lambda , segCn suele denominarse) con una serie de restricciones "en eso no se diferencia mayormente nuestro procedimiento del de las teor1as axiomtica de conjuntos, aunque s1 en el detalle del procedimiento. Otra diferencia es )sta: conc1bense normalmente los conjuntos como entidades atemporales, o sempiternas nuestras determinaciones pueden ser meros entoides, que a lo mejor existen s;lo en ciertos aspectos o s;lo en ciertos momentos. Por Cltimo, las teor1as de conjuntos suelen construirse sobre la base de clculos de predicados de primer orden, mientras que nuestra teor1a de determinaciones es una l;gica combinatoria, en la cual no figuran variables entre los signos primitivos.)o.,,&&ԌOtra discrepancia entre mi enfoque y el aludido de Russell es que en el sistema aqu1 propuesto no se afirma que cuando dos acontecimientos no se solapan en absoluto uno de ellos ha de preceder totalmente al otro. Al rev)s, la precedencia se da por grados, infinidad de grados, de tal modo que es tanto ms existente la precedencia de un hecho por otro (la anterioridad de )ste respecto de aqu)l) cuanto mayor sea la distancia que los separa. No precede tanto la muerte de Cleopatra a la de Octavio como a la de Constantino. Aunque en la reciente literatura filos;fica sobre la cuesti;n del tiempo no abundan precisamente los intentos por resolver la paradoja de McTaggart de manera original "en general encast1llase uno o en la defensa de la serie A o en su impugnaci;n, pero en ambos casos abogando por la existencia del tiempo", un autor, G. Schlesinger, s1 ha intentado "aprovechando sugerencias de Broad" una v1a origina postular un ultratiempo en el cual fluir1a el tiempo, el cual a su vez servir1a circularmente de ultratiempo al ultratiempo. Poco eco ha encontrado ese intento que no obstante es muy valioso. Oaklander lo rechaza porque su circularidad ser1a viciosa y no evitar1a la regresi;n infinita. Veremos ms abajo c;mo el enfoque aqu1 brindado se parece al de Schlesinger en algo (s;lo en algo). Lo interesante es apuntar que ideas como )sa de Schlesinger abren la concebibilidad de un tiempo pluridimensional; algo que sin duda puede tener aplicaciones fecundas en conexi;n con asertos de algunos f1sicos contemporneos. Y "coincidencia curiosa" hay una teor1a filos;fica sobre el tiempo que, original1simamente, abogue por la pluridimen T; sionalidad del mismo (un tiempo voluminoso, con bulto ): la de Xirau. Valdr1a la pena explorar las conexiones posibles entre una teor1a as1 y un enfoque como e aqu1 articulado. Una Cltima cuesti;n para acabar este apartado: los adeptos de la serie A aseguran que, sin ella, no se explican nuestras actitudes diferentes hacia el pasad y hacia el futuro. Desgraciadamente tampoco la mera postulaci;n de la serie A resuelve la dificultad; si s;lo existe lo presente, por qu) conocemos mejor lo pasado que lo futuro, cuando ambos son igualmente irreales? Por qu) nos interesamos ms por el futuro? Si hay respuesta satisfactoria a esas preguntas, no nos la da la postulaci;n de la serie A. Se han intentado otras respuestas. Pero, sean la que fueren aquellas que merezcan venir adoptadas, lo importante es que la serie A la posici;n filos;fica de los `tensers', no es condici;n ni necesaria ni suficiente para la articulaci;n o la adopci;n de una de tales soluciones a la dificultad De todos modos, ese tema de la direcci;n o la asimetr1a o anisotrop1a del tiempo quedar fuera del mbito de la presente investigaci;n. b$ك  r$ | 2."  El clculo de l;gica combinatoria Ac ă  dW& Vamos a presentar en este apartado el clculo combinatorio Ac , del cual e  dX' una extensi;n el sistema de l;gica temporal At . Vayan por delante ciertas convenciones. La concatenaci;n o yuxtaposici;n de dos signos es un signo. Tal concatenaci;n se entender siempre asociativa hacia  T* la izquierda ( pqr  equivale a  (pq)r ), viniendo interrumpida tal asociaci;n por el  T+ espaciamiento:  p qr  equivale a  p(qr) ; para evitar confusiones acudiremos+o.,,&& (informalmente, eso s1) a par)ntesis desambiguantes, que son ms comCnmente comprendidos, segCn los acabamos de introducir (parent)ticamente) como procedimiento de explicaci;n; pero los par)ntesis no forman parte de nuestra notaci;n oficial.  T: $Reglas de formaci;n: (1) [], [], [H], [U], [I], [B], [$], [], [a] son signos (2) Si [p], [q], [r] son signos, tambi)n lo son [pq] y [p qr]. (En casos de signos incompuestos suprimiremos los corchetes que los rodean cuando estn solos.)  T` ](Abreviacionesă `' abr. `[$ $ ]' `' abr. `[$ $ ]' `2' abr. `[$ $]' `N' abr. `[2]' `V' abr. `[ N ]' `U' abr. `[ N N]' `' abr. `[HN]' `L' abr. `[N HN]' `' abr. `[ $I U]' `D' abr. `[ V]' `' abr. `[Iaa]' `0' abr. `[V(Ia) (I N)]' `1' abr. `[N0]' `X' abr. `[2]' `S' abr. `[2 UN]' `n' abr. `[Na]' `m' abr. `[(Nn)N]' `' abr. `[$(($(D))U)V]' `Y' abr. `[2(U Ia)]' `f' abr. `[2(U Y)]' `&' abr. `[(U)L]' `\' abr. `[$($((U)))((()))]' ` ' abr. `[$($((&)\)n) fS]' `K' abr. `[ NX N]'+o.,,&&Ԍ`J' abr. `[ B ]' Procederemos adems con arreglo a las siguientes convenciones.  TX Llamaremos: functores mondicos a los signos H, B, N, , L, X, n, m, Y, f, , K, J; functores didicos a los signos , , I, V, U, , D, , &, \. Un signo total (solo), [p], aparecer con supresi;n de los corchetes que lo rodean como indicaci;n de lo siguiente:  T  (1) cuando en  p  figure un functor didico $ en el signo [$rr'], reemplazamos )ste por (lo abreviamos  como) [r'[$]r]; en cambio #  T  (2) introducimos dentro de  p  corchetes para delimitar los signos a los cuales (e.e. a cuya estructura interna) no se aplica la convenci;n (1) ni la (3) a  T continuaci;n; llamamos f;rmula (no total) a un signo entre corchetes, y, si  T  r' ,  r  son f;rmulas y $ un functor didico, f;rmula es tambi)n  r$r' ;#  T(  (3) Si $ es un functor mondico y  r  una f;rmula, figurando en  p   $(r) , reemplaza T mos esto por  $r  que es tambi)n una f;rmula, estipulando que $ rige a la  T   f;rmula ms corta que lo siga (con una salvedad estipulada en el punto (5) ms abajo);#  (4) cuando no haya confusi;n los corchetes se reemplazan por par)ntesis o se suprimen;#  (5) dos f;rmulas yuxtapuestas estn ms unidas, formando una f;rmula, que  T cualquiera de ellas por separado con un functor mondico o didico: si  r ,  T  r' ,  r  son f;rmulas,  rVr'r  se entiende como  rV(r'r) , y  Nrr'  se  T entiende como  N(rr') .#  T En especial, llamaremos f;rmulas (no requiri)ndose encerrarlas en corchetes ni par)ntesis) a estos signos: a, , 0, 1. As1 pues, dentro de una f;rmula total, una ocurrencia de `$' no es una f;rmula, mas s1 lo es una de `[$]'; igualmente  T un functor, `N' p.ej., no es f;rmula, pero s1 lo es [N]: si  p  es f;rmula, entonces  T "cuando y donde se apliquen estas estipulaciones, o sea dentro de una f;rmula  T total"  NNp  abrevia a  N(Np)  mientras que  N[N]p  equivale a  (NN)p ). En lo sucesivo, las letras esquemticas `p', `q', `r', etc. son usadas s;lo para hacer las veces de f;rmulas (lo cual de hecho no restringe su generalidad, como es obvio).  T Con arreglo a tales convenciones, procedemos a estos Cltimos esquemas  T abreviativos (donde  p ,  q  son f;rmulas):  TT"  p8q  abr.  B(pq)   T#  p=q  abr.  B(pIq)   T"%  p/q  abr.  (p=q)   T& Otras convenciones abreviativas a tener en cuenta son )stas: Si  r  es un  Tz' signo que no figura en  p ,  r[p]  abrevia a  [p] ; si  r = p ,  r[p]  =  ($) ; si  r   Tk( figura tanto en  p  como en  q ,  r[pq]  abrevia a  $rprq .  T) Introducimos variables como letras esquemticas pero con una restricci;n:  T* en un esquema de f;rmula,  p , una ocurrencia de una variable  x  no puede  T+ reemplazarse por una f;rmula  q  ms que cuando se haya demostrado el teorema+o.,,&&  T  Iq . Como letras esquemticas que son, las variables pueden ser afectadas por  T igual que las letra esquemticas  p ,  q ,  r , etc., en lo que precede. As1  x[p]  es un esquema claramente explicado ya. Las estipulaciones sobre variables libres y  T ligadas son las usuales  zxp  abreviar a  Uxp .  T: Si  p  es una f;rmula,  zxp  ser una f;rmula; cada prefijo cuantificacional  T+ (`zx', `zy', etc.) rige a la f;rmula ms corta que lo siga inmediatamente mas con una salvedad id)ntica a la de los functores mondicos, a saber un prefijo cuantificacional liga menos estrechamente que la yuxtaposici;n entre f;rmulas, de  T suerte que `zxpq', si p,q son f;rmulas, equivale a  zx(pq) .  zBxp  abrevia a  T  zx(BxDp) .  yxp  abrevia a  Nzx(1Np) ;  yBxp  abrevia a  yx(Bx&p) . En lo que precede inmediatamente, al igual que en lo que sigue, usamos la variables como metavariables; lo cual significa que en tales esquemas `x' p.ej (o cualquier variable) puede reemplazarse, con tal de que sea uniformemente, por  T+ cualquier otra variable "obedeci)ndose, donde proceda, las estipulaciones sobre las restricciones que sean del caso acerca de las ocurrencias de tales variables en el contexto.  [v $ Esquemas axiomticos ă A01 pUqDp A02 rUsIpD(pqIUqsVUqr) A03 pIqD(rIqI.pIr)U.KXpIpU.YpVYqVY(pq)U.fSpUfSqD(pq\p)U.pUqD.pq A04 qUpVpIpU.HpUHqILH(pUq)U.pIqD(HpVHrIH(qVr))U.pqpU.p1Ip A05 pINqI(NpIq)U.pIpIU.p'UpIqD(qrsI.srpU.sp'r)U. pUfNqD N(pmq) A06 pIqD(qDp)U.mpmnpVHpU.mpnp(YpVYNp)U.qnpV(pImq)ULpV.pq A07 BpVBBLpU.BpIpVBpU.p8q&BpBq A08 yx(zxqp)Izx(yxpq)U.zx(pq)(zxpq)U.zxs\rDyx(s\r)U.zxpUyxqyx(pUq)U. zxpyxpU.nr\rDyx(ryxp.rp) A09 p=qD.prIqrU.rpIrq A10 zxB(p0Iq0U.pxIqx)D.pIq A11 0qVB(pUq)DpqU.IqD.p=yx(x=q&p')UJx A12 1pIpU.[pq]Ip En A08 r no debe tener ninguna ocurrencia libre de la variable `x'. En A11  T3%  p'  es el resultado de reemplazar en  p  cada ocurrencia (libre) de  q  por una ocurrencia libre de x. Antes de presentar los dos siguientes esquemas axiomticos hemos  T|( menester d unas aclaraciones terminol;gicas: A cada signo  p  se le asigna un tipo  Tm) )p. Si en un signo  q  figura la concatenaci;n  rs , entonces )r = )(rs))s. Tomemos  T^* un signo  p  y asignemos uniformemente a cada signo que en )l figure un tipo. A cada tipo )q le asignaremos un nCmero #)q prescribiendo tan s;lo que #()r)q) =Q+o.,,&&  T #)q+1. Una f;rmula es estratificada ssi hay c;mo asignar tipos uniformemente a cuantos signos en ella figuran sin que a un mismo tipo le correspondan dos nCmeros diferentes.  TK Una f;rmula es blanda ssi en ella no figuran ni `I' ni `H'.  T Una f;rmula es vulgar si en ella no figura  o no figura $ fuera de un functor; es vulgar todo signo que figura dentro de una f;rmula vulgar; y es vulgar una f;rmula p$q ($p) si $ es un functor didico (mondico) mientras que p,q son f;rmulas vulgares.  T Es llana una f;rmula que sea o bien vulgar, o bien estratificada, o bien blanda. A13 Bp'D.[$qq'p]I.qp(q'p) A14 rIs En A13 se tiene que cumplir uno de estos dos requisitos:  T  (1)  p' = p ;#  T  (2)  p'  es cualquier instancia sustitutiva de A01, y p es una f;rmula llana.# En A14 cCmplense estos requisitos:  T  (1) siendo  r' ,  s'  sendos resultados de reemplazar en  r ,  s  cada ocurrencia de  T  p  por una de  p' , pru)base para cada f;rmula llana  p'  esto:  r'Is' ;#  T   (2) o bien  r ,  s  son verifunciones de  p , o bien  r  =  qp  y  s  =  q'p , sin que  T  p  figure ni en  q  ni en  q' . (NOTA: si  p ,  q  son f;rmulas y $ un functor  T didico,  p$q  es una verifunci;n tanto de  p  como de  q , mientras que,  T si $ es un functor mondico,  $p  es una verifunci;n de  p ; una verifunci;n  T de una verifunci;n de  p  es una verifunci;n de  p .)#  T; $Reglas de inferenciaă  T  rinf 01 (modus ponens): p , pDq  q  T   rinf 02 p  Bp  Tt   rinf 03 (generalizaci;n universal) p  q, donde  q  es el resultado de prefijar a  p  un nCmero finito de cuantificadores universales `zx', `zy', etc.#  T!  rinf 04 variaci;n alfab)tica  T7#  rinf 05 cambio de variables libres  T$ K*Lecturasă  : No s;lo8 sino tambi)n;# H: Es totalmente verdad que;  B: Es afirmable con verdad que;#  : Ni8 ni;#  I: En la (misma) medida en que;#+ o.,,&&Ԍ U: Es universal(mente pose1da);#  a: lo infinitesimalmente verdadero (es verdadero);#  pq: el hecho de que (exista) p es una determinaci;n del hecho de que (exista) q;#  rp: la determinaci;n de ser un ent(oid)e, r, tal que p;#  $: la determinaci;n relacional que guarda algo, p, con otros algos, q,r, en la medida en que el que p sea una determinaci;n de r es, a su vez, una determinaci;n del que q sea una determinaci;n de r;#  J: en algunos aspectos, de un modo u otro, relativamente por lo menos;#  X: muy;#  K: al menos un poco;#  f: un tanto;#  Y: infinitesimalmente, un s1 es no;#  D: s;lo si;#  : implica, s;lo en la medida en que;#  U: y;#  V: o;#  : no es verdad en absoluto que;#  N: no;#  n: Es superverdad que;#  m: Viene a ser verdad que;#  S: Es y no es verdad que;#  L: ms o menos, hasta cierto punto por lo menos;#  \: Es menos verdad que 8 que no que";#  : ssi;#  &: siendo verdad que8,";#  1: lo totalmente verdadero;#  0: lo totalmente falso;#  : lo igualmente verdadero que falso;#  yxp: Hay algo, x, tal que p;#  zBxp: Todo (verdadero) ente es tal que p;#  yBxp: AlgCn (verdadero) ente es tal que p.# b$ك") o.,,&&Ԍ r ^ 3." El sistema de l;gica temporal At ă  d  At es una extensi;n de Ac . Los nuevos signos primitivos, sobrea9adidos a  d los de Ac , son )stos: , , temp , t$; que significan, respectivamente: la relaci;n de  T anterioridad; la de estarincluidoen (no en sentido conjuntual, sino en el de seruna T porci;nde , una parte de); la determinaci;n de ser una determinaci;n temporal (un  T cuando); y una determinaci;n temporal privilegiada, el ahora .  T $ Nuevas abreviaciones .  Tb  Pp  abr  Npp&p   d   P p  abr  PpUPNp   T@  pq  abr  N(pq)   T  pqr  abr.  pqU.qp   T  qpr  abr.  qpU.pr   Tu  p+q  abr.  pqU.pq'   T  pq  abr.  pqU(qq)   dC  zt(tp)  abr.  zx(BP( temp x)Dxp)  (si x no figura libre en  p )  d  yt(tp)  abr.  yx(BP( temp x)&xp)  (misma restricci;n)  T1  pq  abr.  zt(tpDtq)   d  q inc p  abr.  qp&P(qp)Uyt(tpU(tq)& P (tq))   d  q fin p  abr.  qp&P(qp)Uyt)tpU(tq)U P (tq))   T  zt(tp)  l)ese: Siempre p ;  T  yt(tp)  l)ese: Alguna vez p ;  TT  pq  l)ese: Cuandoquiera que p, q ;  d  q inc p  significa que q es una porci;n inicial de p;  d2  q fin p  significa que q es una porci;n final de p;  T  Pp  l)ese: Es ms bien verdad ( cierto ) que p  ( potius );  d"   P p  l)ese: Es bastante verdadero el hecho de que p . En la exposici;n de los esquemas axiomticos que siguen (y de los teoremticos que vendrn despu)s) Csanse como variables libres las letras t, t', tN, t, etc. pero en realidad s;lo se significa con ese uso que es un axioma (o teorema) el resultado de prefijar a la f;rmula total de que se trate los cuantificadores correspondientes, zt, zt', zt1, zt, 8; y luego restablecer la notaci;n primitiva. Las letras esquemticas t,t',t', etc. Csanse como (variables o esquemas de) f;rmulas.>( o.,,&&Ԍ T $ Esquemas axiomticos ă  Ti  At01 pqU(qr)D.pr  T  At02 ttUP(ttUt(t+t$Ut$))  T;  At03 pqI.qp  T  At04 B(tt'U.t't).t=t'  T   At05 tt'V.t'tV.t=t'=BP(t+t')  Tv  At06 tptqIt(pq)U.tptqIt(pq)U.tHpIHtpU.taIaU.tzxpIzxtp  T  At07 PpPqU(PqPp)DP(p+q)  TH  At08 ztyt'(tp&(pq).t'q&.tt')  T  At09 zt(P(t+t')VY(t+t'))V.t't(t't')P(tt')  d  At10 P (tt')D P yt(ttt')  d  At11 P N(t+t')Uf(t+t')DztytN,t(t inc t\tN inc tU.t fin t\.t fin t)  T  En At06 `x' no ha de tener ocurrencias libres en  p . b$ك  [ 4." Comentarios sobre las definiciones propuestas ă Vale la pena ahora extenderse en una serie de comentarios filos;ficos sobre las bases del sistema, reci)n expuestas. En este apartado comentar) varias facetas de las definiciones; en el siguiente, los esquemas axiomticos. Conviene notar, en primer lugar, que la relaci;n de anterioridad, , se ha introducido para ligar cualesquiera hechos. Como el sistema l;gicocuantificacional subyacente es un clculo combinatorio, una semntica apropiada para el mismo descartar cualquier barrera o desnivelamiento categorial. Tienen "entre otras" los desnivelamientos categoriales la grave desventaja de que resultan inefables, o sea: una teor1a que los propugne resultar victima de s) misma, condenada a prescribir un lenguaje en el cual no podr formularse esa misma teor1a. El que no haya desnivelamientos categoriales quiere decir que cuanto tenga sentido afirmar, o negar, de un ente tiene sentido tambi)n afirmarlo, o negarlo, de otro. O "lo que bajo supuestos bastante comunes, es equivalente": que dados cualesquiera dos entes hay alguna determinaci;n que comparten. Con mayor propiedad, o prioridad, distinguimos entre entes, en sentido propio o fuerte, y entoides. Son entoides cualesquiera determinaciones, cualesquiera algos que tengan existencia siquiera relativa, e.d. siquiera en algCn aspecto (de uno u otro modo, segCn suele decirse). Es, pues, un entoide cualquier algo, p, tal que es verdad Jp. Entes, propiamente hablando, son tan s;lo aquellos algos que existen verdaderamente, e.e. en todos los aspectos "aquellos cuya existencia es afirmable con verdad. (Todo ente es, claro est, un entoide.) La superaci;n de las trabas o barreras categoriales viene articulada al reconocerse que cada ente o entoide es id)ntico a su propio existir "siendo, pues,+ o.,,&& un hecho. Trtase de una identificaci;n de lo ms natural: las causas y los efectos de algo son los de su existencia; el sitio ocupado por algo es el mismo ocupado "cuando se d) tal ocupaci;n" por su existencia. Y tambi)n sucede que las emociones y actitudes que se tienen hacia algo son las mismas que las que se tienen para con la existencia de tal algo. A la objeci;n de que no suelen decirse cosas como que tengo encima de la misa la existencia del bol1grafo, respondo que ah1 interviene un factor pragmtico de econom1a comunicacional. Por otro lado, si "siguiendo a Russell" hacemos estribar la verdad de una oraci;n en la existencia de lo por ella significado, cabr decir que son lo mismo el que exista algo y el que  Ty tal algo sea verdadero " verdadero en un sentido no semntico sino proposicional  o fundamental, equivalente empero a la verdad, en sentido semntico, de aquella expresi;n, cuando la haya, que miente o signifique al algo en cuesti;n. As1 pues, la existencia de una determinaci;n temporal "de un lapso de  T tiempo, e.d. de un cuando " es lo mismo que esa misma determinaci;n temporal. De ah1 que una determinaci;n temporal sea un hecho como otro cualquiera. El sentido, pues, en el que se dice que, p.ej., 1789 es anterior a 1790 es el mismo que aquel en que se dice que la Revoluci;n francesa es anterior a la Revoluci;n rusa.  T Consideraciones no enteramente dis1miles apl1canse a la relaci;n de ser T unaporci;nde . Con una salvedad empero. Aunque en los esquemas definicionales el signo que designa a tal determinaci;n relacional, , es introducido como aplicable a cualesquiera signos de f;rmulas (sentenciales) sin excepci;n "a lo cual nos autoriza el carcter combinatorio del sistema l;gico escogido y, a tenor del mismo, la ausencia de barreras categoriales en la semntica y la ontolog1a por las que optamos", sin embargo carece de inter)s aplicar esa determinaci;n a lo que no sea duraciones, e.e. determinaciones temporales. (A menos que se quiera que el sentido en el que se dice que 1750 es una parte o porci;n del siglo XVIII es el mismo que aquel en el que se dice que Andorra es parte de Europa.) Y otro tanto  d_ hay que decir sobre las definiciones de los esquemas  q inc p  y  q fin p : en la prctica restr1ngese su inter)s a relaciones entre lapsos, pero desde luego tiene sentido, aunque no tenga verdad, el decir que un hecho es una porci;n incipiente, o final, de otro. Un rasgo bastante peculiar de este sistema de l;gica temporal es el definir  T la posterioridad, , como no anterioridad (con mayor rigor hubi)rase definido estrictamente as1: `' abr. `(N)'). Hubi)rase podido esperar una definici;n de  T~!  pq  como  qp , con lo cual ese esquema axiomtico At03 seria una mera  To" instancia de  pIp . Son desde luego razones poderosas las que han determinado nuestra opci;n. Vemoslas. Si no suele adoptarse un esquema definicional como  TQ$ el aqu1 escogido "a saber el que define  pq  como  N(pq) : la posterioridad como no anterioridad", pese a su mayor sencillez, ello es porque acarrea, en virtud del principio de tercio excluso, que un hecho, sea el que fuere, es o posterior o anterior a s1 mismo "e incluso que es ms bien cierto que es o anterior o posterior a si mismo, pues es teoremtico el esquema `P(pVNp)'. De ah1 se sigue la verdad (parcial) d que nada es (totalmente) simultneo consigo mismo. En efecto, la simultaneidad entre el hecho de que p y el de que q,  T^+ p+q, equivale (por definici;n) a que sea verdad esto:  pqU.pq , o sea^+ o.,,&&  T Ԛ pq.N(pq) ; equivale, pues, a que p sea y no sea anterior a q; lo cual es una  T negaci;n de una instancia del principio de nocontradicci;n,  N(pUNp) , equivalente  T al de tercio excluso,  pVNp . (Resultado de esta Cltima equivalencia es el que la simultaneidad entre p y q, p+q, equivalga tambi)n una negaci;n de una instancia  T del tercio excluso, a saber a: N(pqVN(pq)); con otras palabras:  p+q  equivale a  T  pq.pq , o sea a que p no sea ni anterior ni posterior a q.) Ahora bien, las consideraciones filos;ficas de la primera parte del presente trabajo nos han persuadido de que nada es totalmente simultneo consigo mismo, puesto que la simultaneidad es una relaci;n temporal que conlleva coincidencia, un estarjuntocon, un superponerse o recubrirse que nunca se da de lleno toda vez que, cuando algo sucede, mientras est sucediendo, est pasando, es transcurriendo, y en ese movimiento no puede tener plena superposici;n con nada. Se replicar que, como el hecho de que se trata transcurre mientras transcurre, como su transcurrir no es ni mayor ni menor, ni ms lento ni ms rpido, de lo que es, todo el tiempo se superpone perfectamente consigo mismo. Mas decir eso es olvidar lo que vimos ms arriba: que todav1a, y ya, (en  T cierto grado) no sucede hecho cuando o mientras sucede, puesto que todo cuando  T es movedizo, ningCn cuando coincide plenamente consigo mismo; y, por ende, nada coincide temporalmente d todo consigo mismo: cuando sucede (o sea: mientras est sucediendo), ya es su s ceder parcialmente pasado y todav1a parcialmente futuro, y, por ende, y en esa medida, parcialmente no presente, o sea: no existente. Precisemos: el `no' aqu1 tiene como su alcance, no la ap;dosis, sino toda la f;rmula: lo que viene negado (parcial o d)bilmente) es que el hecho sucede mientras sucede, no el que sucede a secas (ni siquiera viene esto negado para cuando el hecho sucede). Podr objetar que, en todo caso, esas consideraciones no se aplican a los hechos sempiternos, aquellos que existen siempre; pues de ellos no es verdad que todav1a (ya) no suceden. Sin embargo, eso es desconocer que cualquier ahora en el cual est)n sucediendo es un cuando que, mientras se da o existe, es parcialmente pasado (ya inexistente) y parcialmente futuro (todav1a inexistente); por lo cual no existe entre un hecho y si mismo ninguna superposici;n temporal cabal y perfecta, pues cada superposici;n as1 efectCase por medio de  T alguna duraci;n, en alguna duraci;n y con ella. Es la relaci;n de existirdurante la que nunca se da plenamente, ni siquiera entre una cosa y s1 misma. De ah1 que todo hecho sea o anterior o posterior a cualquier hecho, incluso a s1 mismo "toda vez que nunca hay plena simultaneidad o coincidencia temporal;  T# de ah1 que, por la definici;n de `', se tenga que  pqV.pq  sea un esquema teoremtico, demostrable incluso sin acudir a At03. Tenemos, pues, en virtud de la mera definici;n de `' y el clculo combinatorio subyacente, una buena colecci;n de resultados interesantes demostrables  T'  pqV.pq ;  N(p+p) ; mas no lo son otros de ese tenor, tambi)n deseables: p.ej el enunciado en el esquema axiomtico At03: algo es anterior a otra cosa en la medida en que esa otra cosa es posterior a dicho algo. Con ayuda de At03 pu)dense probar  T* todos los resultados apetecidos de la 1ndole aludida; p.ej.  pqIN(qp) ;  T+ Ԛ pqIN(qp) ;  P(pqV.qp) ;  p+qI.pqp : la simultaneidad es una anterioridad+o.,,&& mutua. Por eso nada es absolutamente simultneo con nada, pues una mutua anterioridad no puede ser verdadera sino, todo lo ms, a medias Cnicamente. Tenemos, pues, que la anterioridad se da entre una cosa (o hecho) y s1 misma siempre en una medida del 50% "en tanta medida cuanta aquella en que a la vez no se da. Y similarmente para los lapsos, las duraciones. Una duraci;n coincide consigo misma, e.d. es anterioryposterior a s1 misma, en esa medida del 50%. Aparte de eso, cuanto ms anterior es una duraci;n a otra, menos posterior es a )sta Cltima. Y viceversa. Ahora bien, qu) v1nculos de anterioridad, simultaneidad, o posterioridad hay entre una duraci;n y otras duraciones que se solapen con ella, e incluso con aquellas que sean porciones suyas? Veamos. Si "en aras de la simplificaci;n y la comodidad" imaginamos instantes o puntos limitantes de las duraciones (postulaci;n de la cual podemos prescindir, segCn lo veremos), entonces cabr determinar el grado de anterioridad de un lapso respecto de otro por la distancia entre sus instantes iniciales y tambi)n por aquella entre sus instantes finales (n;tese que los instantes inicial y final de un lapso son limites que no tienen por qu) estar en el lapso). Mas c;mo se conjugan esos dos factores? Cuando dos duraciones no se solapan, acaso no haya mayor problema, aunque se trate de duraciones desiguales (de desigual duraci;n `duraci;n', aqu1, en el sentido de `longitud temporal'). El siglo XVIII dista siete a9os de 1808: el inicio del siglo XVIII (el 1.1.1701) dista 107 a9os del inicio de 1808, mientras que el final del siglo XVIII dista 8 a9os del final de 1808; pero esa diferencia puede a lo mejor desestimarse, atendi)ndose a la distancia entre el final del primer lapso y el comienzo del segundo. No obstante, no es nada seguro que sea )sa la mejor manera de ver las cosas. En 1708 se est en pleno siglo XVIII, pero falta todav1a un hasta 1808, y el mundo de este Cltimo a9o queda lejos, es todav1a ajeno y remoto (much1simo ms que lo ser en 1798, cuando estn ya en presencia los protagonistas de lo que acaecer diez a9os despu)s, y existen ya las principales caracter1sticas hist;ricas que marcarn el a9o 1808); el grado de anterioridad del siglo XVIII (`como un todo') respecto del a9o 1808 deber1a, pues, de ser alguna `media' o `composici;n' entre la anterioridad de enero de 1701 respecto de enero de 1708 y la de diciembre de 1800 respecto de diciembre de 1808. Sea como fuere, agrvase el asunto cuando pasamos a considerar la anterioridad entre duraciones que se solapan. Cun anterior es 1900 al a9o o per1odo lectivo 19001901? Cun anterior es la Guerra de Espa9a (o su duraci;n) a (la de) la Cltima guerra chinojaponesa "que comienza unos 12 meses despu)s, pero termina ms de 77 meses despu)s? No pretendo aqu1 proponer ninguna funci;n espec1fica para conjugar esos dos factores. Digo s;lo que alguna funci;n que los conjugue es la que determina el grado de anterioridad o posterioridad entre dos duraciones. Cuando se trate de la que se d) entre un lapso y una porci;n del mismo, igualmente entrarn en consideraci;n ambos factores. P.ej., 1868 es bastante anterior (ms anterior que posterior) a septiembre de ese a9o, y todav1a ms a octubre, ms a noviembre, ms a diciembre; es bastante posterior, en cambio, a marzo, ms a febrero, ms a enero; porque, aun que empieza el a9o antes de que empiece febrero, esa distancia oD+o.,,&& anterioridad es compensada con creces por la mucho mayor anterioridad de la terminaci;n de febrero respecto del fin del a9o. As1 que cada lapso ser lo ms simultneo posible (tan anterior como posterior, pues) respecto de cualquier porci;n suya que sea exactamente media o central. Las consideraciones que preceden s1rvennos para entender mejor las  d+ definiciones que se han brindado de inc y de fin , e.d. de que un lapso sea una porci;n inicial o incipiente de otro, o una porci;n final del mismo. Para la primera  T hace falta: que el lapso en cuesti;n, t, sea una porci;n ms bien anterior al lapso total de que se trate (o sea tal que no est), por decirlo as1, ms en la segunda mitad del lapso total que en la primera); y, adems, que de ninguna manera haya otras porciones de ese lapso total que, siendo bastante anteriores a t, no sean en absoluto porciones de t; con ayuda de At09 "y descartando por el momento los lapsos no arquim)deos, o sea aquellos que son infinitamente distantes de cuantos no coincidan duracionalmente con ellos mismos" pru)base que tal condici;n equivale a esta otra: t es una porci;n inicial de t' ssi es una porci;n de t toda porci;n t' de t' que sea respecto a t' tan anterior al menos como lo es t; formalizada d mente: t inc t'zt(tt'U(tt'.tt')D.tt). (Obs)rvese que este esquema no es, tal cual, teoremtico; s;lo lo es una restricci;n del mismo para dejar a salvo la posibilidad de lapsos infinitamente distantes de los dems "de lo cual hablaremos algo ms abajo.) Consideraciones dualmente iguales cabe hacer respecto de la relaci;n de  d finalizaci;n de un lapso por otro, representada por fin en nuestra formalizaci;n. N;tese, eso si, que cada duraci;n es una duraci;n o porci;n inicial y final de si misma. Para dejar ya de lado esas relaciones de inicialidad y de finalidad entre lapsos, conviene se9alar que los siguientes esquemas son teoremticos:  d t inc t'U(t' inc t)D.t inc t  d t fin t'.(t' fin t)D.t fin t O sea: esas relaciones son transitivas "lo cual resulta palmario. N;tese, en fin, que hay grados de inicialidad y finalidad, y eso lo articulan adecuadamente sendas definiciones brindadas: una porci;n inicial de 1968 lo es tanto ms cuanto ms anterior sea a ese a9o: la primera quincena de enero ms que el mes de enero, etc. b$ك  [$  5." Comentarios sobre los axiomas ă  T% El esquema At01 es muy improblemtico: la determinaci;n relacional de ser T& una porci;nde (o estar `incluido' en) es transitiva: la porci;n de una porci;n de un lapso es una porci;n de este Cltimo. Ms discutible es el esquema At02. No tanto su primer conyunto: cada duraci;n es porci;n de si misma; sino el segundo, que a su vez comprende dos. El primero nos dice de cada duraci;n que )sta es ms bien existente en si misma, o sea que de cada lapso t es ms bien verdad que en (durante) (el+o.,,&& transcurso o la existencia de) t transcurre o existe t. Puede parecer una perogrullada. Mas por otro lado no resulta tan indispensable como se podr1a creer. Por ello, podr1a abandonarse sin grave merma del sistema. Tambi)n podr1a reforzarse, viniendo reemplazado por alguno de estos dos esquemas, que lo entra9an mas no  T son entra9ados por )l (o sea por  ztP(tt)) :  T+  (1)  zt,t'(t+t'tt') : en la medida (al menos) en que dos lapsos son simultneos, el uno existe en (durante) el otro; la diferencia entre eso y el esquema ztP(tt) podr calibrarse por lo que diremos en seguida sobre la relatividad, variabilidad y pluridimensionalidad de la simultaneidad o coincidencia temporal.#  TV  (2)  zt,t'P(tt') : este esquema aseverar1a que en cada duraci;n son ms bien existentes todas las duraciones; en efecto: podr1a diferenciarse entre que ahora, en 1988, exista 1888 y el que ahora pase lo que pasaba en 1888; podr1a pensarse que los acontecimientos son fugaces, pero las duraciones temporales son sempiternas; podr1a en suma sostenerse que por existir ahora, en 1988, el a9o 888 es (ahora) verdad que Eudes es en ese a9o coronado rey de Francia. Mas, cualesquiera que sean las ventajas teor)ticas de verlo as1, parece mejor pensar que las duraciones son acontecimientos y pasan, transcurren, suceden como eventos, que llegan y se van, hasta el punto de que existe alguna ligaz;n "vamos a ir vi)ndolo" entre el que un acontecimiento sucede en (durante) una duraci;n y el que sea simultneo  T o temporalmente coincidente con tal duraci;n, o sea el que ocurra cuando tal duraci;n (en el sentido preposicional del `cuando' en castellano moderno).#  T Llegamos as1 al tercer y Cltimo conyunto de At02:  ztP(t(t+t$Ut$)); lo cual "en virtud de At06" equivale a que en (durante) cada lapso temporal sea ms  T bien verdad tanto que existe el ahora como que el ahora es simultneo con el lapso en cuesti;n. Adoptando un esquema as1 estamos dndoles la raz;n en parte a los  T adalides de la serie A, a los adeptos de la tensed view of time. Pero no del todo, ni much1simo menos. S1, por un lado reconocemos al ahora un privilegio considerable: es una duraci;n que existe siempre (en cada lapso de tiempo es ella ms bien existente); que existe cuando algo existe y es, en cada duraci;n, temporalmente coincidente o simultnea con la duraci;n en cuesti;n. As1 en 1989 se puede decir con verdad (con por lo menos tanta verdad como falsedad): `En este a9o de 1989 existe el ahora, y )ste coincide con 1989'. Por eso en 1989 no es verdad que el ahora coincida con 1980, aunque s1 sea verdad que en 1980 el ahora existe y coincide con 1980. Por otra parte, no se ha de exagerar la concesi;n que con ello hacemos a los privilegiadores del ahora. En efecto: para los `tensers' o adeptos de la serie A s;lo hay un ahora que es el ahora; claro que ma9ana habr otro ahora, pero el ahora es (ahora) ahora, aunque luego haya dejado de serlo. Con otras palabras, para los adictos a la serie A `ahora' es redundante y el  T+ ahora es el tiempo o cuando que exista ahora, que es el Cnico ahora; ellos declinan+o.,,&& distinguir entre un `es' atemporal y un es con presente verbo temporal. De ah1 que el privilegio que ellos le conceden al ahora sea mucho mayor. En verdad niegan que haya un ahora cambiante (si bien algunas versiones de las teor1as de la serie A si hablan de un ahora cambiante "y algunos oponentes de tales teor1as precisamente las acusan de dar lugar a paradojas con esa mudanza del ahora). No, no abogan en el fondo por un cambio del ahora, puesto que para tales teor1as el ahora es ahora no ms; lo verdadero o existente es lo verdadero o existente ahora, no luego ni anteriormente. Y en ese punto fundamental sitCase mi opci;n en contra de los verbalizantes, a favor del rechazo a la presunta redundancialidad del `ahora' o a la presunta equivalencia de todo presente con el temporal. Con otras palabras: el ahora es una duraci;n privilegiada, pero que no es id)ntica a ningCn a9o, a ninguna hora, a ningCn segundo, etc. (y a ningCn instante porque no hay instantes); no goza de los privilegios del ahora ningCn lapso que coincida con el ahora sin ser (lo mismo que) el ahora; si ahora es el 01011989, el ahora coincide con ese d1a, pero ese d1a no tiene ningCn privilegio especial. Pero c;mo es eso? C;mo pueden dos duraciones o lapsos diferentes coincidir temporalmente sin ser id)nticos? Saltndonos el comentario a At03 (sobre el cual ya vinieron dichas unas cuantas cosas en el apartado precedente) y sobre At04 " volveremos pronto", pasemos, para percatarnos de qu) hay que contestar a esa pregunta, a comentar At05. Lo que nos dice este esquema es que, a menos que dos lapsos sean tales que s;lo uno de ellos es una porci;n del otro, esos dos lapsos son un solo y mismo lapso ssi es afirmable con verdad que son ms bien coincidentes. Afirmable con verdad es lo verdadero en todos los aspectos. Muchos creen que es lo mismo ser verdadero o existente que ser afirmable con verdad. No es as1 (o en todo caso no es obvio que sea as1). La verdad o existencia puede darse en unos aspectos aun dejando completamente de darse en otros. En cambio la afirmabilidad ver1dica, el existir en todos los aspectos, cuando se d), se dar en todos los aspectos. Pero qu) es eso de los aspectos? Es que algo puede ser verdad en unos aspectos si y en otros no? Por supuesto! Los aspectos de lo real son como mundos posibles , pero con la precisi;n de que forman parte de lo real: son esferas, capas, regiones de la realidad. Unos aspectos estn englobados en otros. Es mon;tono un aspecto de lo real tal que para cada hecho o estado de cosas ese hecho en ese aspecto s;lo tiene un definido grado de verdad, o falta total de verdad. Con otras palabras, es mon;tono un aspecto, w, ssi para cualesquiera hechos, p,q, o es afirmable con verdad que w(pIq) o lo es w(p\q) o lo es w(q\p). Un aspecto que no sea mon;tono es calidosc;pico. La realidad es calidosc;pica. Y el propio mundo de la experiencia cotidiana es tambi)n calidosc;pico. (Bueno no son )sas tesis indisputables, pero si plausibles.)  d( De conformidad con el sistema At se tiene que, si algo es verdad a veces, entonces es intemporalmente verdad que tal algo es verdadero al menos relativamente (al menos en algCn aspecto): yt(tp)Jp. La tensorialidad del sistema de l;gica combinatoria que hemos construido nos permite tratar a un signo que+o.,,&& represente a un hecho, dotado de un valor de verdad tensorial quiz infinitamente complejo "con un nCmero infinitamente grande de componentes escalares diversos entre si", como a la vez susceptible de entrar en combinaciones que denoten otros hechos con sus respectivos valores de verdad tensoriales. as1, el hecho de que p puede tener su valor de verdad tensorial; y el que p tenga tal o cual determinaci;n tendr el suyo. Es ms: resulta posible sostener que todo es verifuncional. El argumento comCn esgrimido en contra de la verifuncionalidad presupone un nCmero finito de valores de verdad. Pero en nuestro sistema adm1tense infinitos valores de verdad y, lo que es ms, tales que cada uno es una combinaci;n tensorial de infinitos valores escalares, dndose as1 valores tales que no es afirmable con verdad del uno sea ms alto que el otro ni viceversa. La coincidencia temporal, como tantas otras cosas, puede darse entre dos hechos o entre dos lapsos en unos aspectos si y en otros no (en absoluto). ah1 est la relatividad y variaci;n de la simultaneidad. Una teor1a alternativa, ms inclinada  T al newtonismo, impondr1a este esquema como axiomtico:  zt,t'(BP(t+t')VBP(t+t') . Pero qu) prueba se tiene, qu) indicio, de que sea as1, de que o se coincide en todos los aspectos o en ninguno? La f1sica hoy no parece imponer esa exigencia. Claro que hay una amplia zona debatible acerca de la relaci;n entre la f1sica relativista y una l;gica temporal "y es mejor dejar ese tema de lado aqu1, para no enfrascarnos, Pero, adems, otras vivencias del transcurso temporal, en la vida de la cultura, parecen adecuarse mejor a la flexibilidad que propicia la relatividad o pluriaspectualidad de la simultaneidad. Tal pluriaspectualidad permite asimismo articular rigurosamente la idea de la pluridimensionalidad del tiempo, a la que hicimos alusi;n en la Secc. 1 de este trabajo. En efecto: nos preguntbamos c;mo puede el tiempo transcurrir si no es en un ultratiempo, c;mo puede el futuro llegar a ser presente y )ste pasado si eso no pasa en un transfondo que fluye al igual que el que una casa pase de ser amarilla a ser morada sucede en el fluir del tiempo. Y aparec1a una concepci;n como la de Schlesinger que intentaba esquivar la regresi;n infinita con s;lo dos tiempos, cada uno el ultratiempo del otro. Pues bien, con la pluriaspectualidad eso parece solucionarse mejor. N;tese que la relativizaci;n aspectual afecta no s;lo a la relaci;n de simultaneidad sino a las de anterioridad y posterioridad. Pensamos en un orden inmutable de lapsos. Algunos dicen que carece de sentido decir que 1870 no siga a 1869. Mas no es seguro que eso sea as1 en todos los aspectos. Quiz s1 en los  T2$ de la experiencia cotidiana (y aCn!) Por qu) en todos ellos?) Pero la realidad es ms rica, ms compleja. No s;lo puede variar segCn los aspectos el que algo suceda en uno o en otro lapso, sino tambi)n c;mo se las haya ese lapso con relaci;n a los dems. Correspondiendo a algunos de los aspectos de lo real (no forzosamente siendo aspectos ellos mismos) estn los lapsos. Tiene sentido, y bueno, decir que en la primavera de 1880 (es verdad que) mayo de 1880 sigue a abril de ese a9o. Cundo pasa eso, esa peque9a parte del fluir del tiempo? En un lapso de tiempo.A+o.,,&& Durante la vuelta del siglo se pasa de un siglo a otro, )ste sigue a aqu)l. Ms vuelta de siglo es 18911910 que 18811920; ms todav1a lo es 1.1.189931.12. 1902. Y as1 sucesivamente. El tiempo fluye en el tiempo. Pero (al menos en algunos aspectos) acaso variablemente. Quiz no siempre al mismo ritmo. Tal vez (en algunos aspectos) con procesos de reversi;n temporal. Todo es ms complejo de lo que parec1a a sobrehaz. Conque un esquema como At03 ha de entenderse as1: en cada aspecto de lo real es verdad que, en ese aspecto, algo es anterior a otra cosa en la medida en que )sta sea posterior al algo en cuesti;n. Lo cual de ninguna manera entra9a que de dos algos, en concreto de dos lapsos, sea afirmable con verdad que el primero es anterior al otro cuando no sea afirmable con verdad que el segundo es anterior al primero. Puede que ninguna de las dos anterioridades sea afirmable con verdad, y s1 suceda cada una de ellas en ciertos aspectos nada ms. El esquema At04 establece que son id)nticos dos lapsos si es afirmable con verdad de cada uno que es una porci;n del otro. De nuevo con respecto a la relaci;n de ser una porci;n cabe notar que puede unir a dos lapsos en unos aspectos s1 y en otros no. Sonar ello raro, pues dif1cilmente imaginamos que septiembre de 1601 puede no estar incluido en 1601. Pero la realidad es a lo mejor mucho ms compleja. Vlganos el panorama a menudo parad;jico de la f1sica contempornea en compa91a de las vivencias del tiempo hist;rico, del de la literatura y del de la conciencia (no caracterizan tales facetas a sendos aspectos de lo real?) para estar precavidos y hacer sitio en nuestra l;gica cronol;gica a posibilidades un tanto sorprendentes para el ms rampl;n sentido comCn. El esquema At06 es menos problemtico; lo que nos dice es algo parecido  T "pero riguroso" a eso que se suele decir de que un cuando , como un mundo posible, es un conjunto mximamente coherente de proposiciones  o de estados de cosas.  TE Corolarios de At06 son, p.ej.:  tNpINtp ;  tpUtqIt(pUq) ;  tpVtqIt(pVq) ;  T6  tyxpIyxtp  (con `x' sin ocurrencias libres en  p ), etc. At07 es, en cambio, a la vez controvertible y dispensable, sin merma de la solidez y aplicabilidad fruct1fera del resto del sistema. La ventaja de At07 es vincular la simultaneidad entre hechos a la relaci;n temporal (propiamente tal) entre ellos, e.d. a que en cada tiempo en el que sucede el uno suceda el otro y viceversa. Sin embargo, el rec1proco de At07 no es vlido, puesto que dos hechos pueden estar ligados por un grado elevado de simultaneidad "de hasta un 50%" aunque no sea verdad que siempre que sucede el uno sucede el otro y viceversa; p.ej. vimos que un lapso y una porci;n suya exactamente mediana pueden ser lo ms simultneos que cabe "aunque no exista la porci;n siempre que existe el lapso. At08 muestra otra ligaz;n entre la relaci;n de anterioridad entre hechos y la que se da entre sendas duraciones de tales hechos: en la medida en que p sea anterior a q y en (durante) t suceda p, habr una duraci;n t' que sea posterior a t y en la cual suceda q.P*o.,,&&ԌAt09 nos dice que, a menos que t sea uno de esos lapsos `raros', no arquim)deos, que estar1an a infinita distancia de cuantos no coincidan con ellos "si es que los hay (en seguida hablaremos de eso)", ti)nese para cualesquiera lapsos t, t' que, si (y s;lo si) t es a lo sumo tan posterior a t como lo es t', t' es ms bien posterior a t. El dual para la anterioridad pru)base facil1simamente. En efecto supongamos que t es ms posterior a t que a t', pero que, no obstante, (en el mismo aspecto) t sea bastante posterior a t'. En tal caso, t' est o bien ms distante,  T pero a parte post , de aquello que de suyo (en el aspecto en cuesti;n) es ms  T tard1o que de lo ms temprano, o bien ms distante a parte ante de esto Cltimo. (Como si dij)ramos, en los aspectos en que los lapsos normales se comportan normal mente, un acontecimiento (bastante) anterior a 1950 ms distante de ese a9o que de 1960, o (bastante) posterior a este Cltimo a9o y ms distante de )l que de 1950). La hip;tesis resulta evidentemente absurda. Por consiguiente, cuanto ms tard1o es un lapso, ms posterior es a cualquier lapso dado; lo cual significa que para tres lapsos dados (arquim)deos) cualesquiera, si (y s;lo si) t es bastante posterior a t', t ser menos anterior a t de lo que lo sea t'. As1 se adecCan la posterioridad relativa y la no relativa, que es una determinaci;n susceptible de grados: si es bastante anterior t a t', t tiene o ejemplifica la posterioridad (a secas) menos de lo que lo haga t'. Un corolario de At09 es la transitividad de la anterioridad (de la posteriori TN dad):  P(tt't)DP(tt) ;  P(tt't)DP(tt) . Otras versiones tambi)n demostrables  d? de lo mismo son:  P(ttU P (tt't))  etc.  d Ahora con respecto al problema de las duraciones no arquim)deas: At ni las pone ni las quita, pero s1 las tolera. Acaso haya (esa posibilidad d)jala abierta At06) alguna duraci;n tal que, dada otra duraci;n cualquiera respecto a la cual no sea ms bien simultnea, una distancia infinita las separa (o sea: tal que sea s;lo infinitesimalmente verdad que son simultneas). Una duraci;n as1 seria infinitesimalmente larga, pues, si no, tendr1a que estar a distancias finitas (tener grados de simultaneidad suprainfinitesimales) respecto a sus porciones o sublapsos. Pero puede imaginarse que haya un lapso as1 infinitamente por delante de otro, luego )ste de otro de la misma 1ndole,8 (S;lo que, en virtud de At10, entre dos de ellos tendr1a que haber un tercero.) O acaso s;lo dos de tales duraciones infinitesimales no arquim)deas, el comienzo y el fin del tiempo. Similarmente formulado est At10 y At11 para excluir de la aseveraci;n que hace a lapsos de )sos no arquim)deos si es que los hay (por si los hubiera). Fuera de tales duraciones no arquim)deas, At11 prescribe para cualquier lapso (arquim)deo) que, dada una porci;n inicial (o final) del mismo, hay otra porci;n ms inicial (ms final) de ese lapso. No parece que At11 pueda descolgarse de la lista de axiomas y probarse a partir de At10 "si bien hay un cierto parecido entre ellos; son dos versiones de un principio de densidad, diversas pero aparentemente independientes. Llegamos, para concluir este apartado, a At10, que es un principio de densidad muy fuerte, que entra9a la existencia de infinidad de duraciones si es que hay al menos dos. b$ك+o.,,&&Ԍ [ y 6." Hacia ulteriores desarrollos ă  d Habr1a podido esperarse que At contuviera algCn axioma con el que pudiera probarse una versi;n `fuerte' de la transitividad de la relaci;n de anterioridad, a  T saber (p.ej.):  zt,t',t(t'tt.t't) .  d Pero por un buen motivo eso no es teoremtico en At . De serlo se demostrar1a que, salvo por lo que haga a los lapsos no arquim)deos, no habr, no podr haber, dado un lapso cualquiera t, ms que o bien tan s;lo lapsos ms bien posteriores a t o bien tan s;lo lapsos ms bien anteriores a t; en otros t)rminos, t ser1a un lapso sin ninguno por delante (un primer  lapso en ese sentido) o bien sin ninguno por detrs ( Cltimo ).  d Es ms, pru)base en At (definiendo ` nonarq t' como  zt'(P(t+t')VY(t+t') , o sea: el que t est) a infinita distancia de cuantas duraciones no sean ms bien  d simultneas con t) lo siguiente:  ztyt',t(t'tt(t't)V norarq t'V nonarq tD.zt'( nonarq t'V d  P(tt'))V zt'( nonarq t'VP(t't))) . Con otras palabras "y en virtud de la desprenexaci;n de cuantificadores": si un lapso t es tal que para cualesquiera lapsos arquim)deos t',t' la posterioridad  Tb de t' respecto de t y de t respecto de t implica (en el sentido estricto de ser a lo  TU sumo tan real como ) la posterioridad de t' respecto de t, entonces ese t es entre los lapsos arquim)deos o primero (o sea: sin ninguno por delante) o Cltimo (o sea: sin ninguno por detrs). Y es que, en efecto, una duraci;n t que no sea ni primera ni Cltima, sino intermedia entre t' y t ser tal que tanto la distancia entre t' y t cuanto la que se d) entre t y t sean, cada una de ellas, menores (menos existentes, pues) que la que haya entre t' y t; como la conyunci;n entre dos hechos toma por valor de verdad, en cada aspecto, al menor de los valores de los conyuntos, t'tt ser menos verdadera que t't. Esos resultados son demostrables con ayuda de At09 y sin hacer intervenir a At10. At10 dice algo con ayuda de lo cual, ms los resultados previamente  d alcanzados, se prueba esto:  zt,t'( P (tt')Uf(tst')Dyt(ttt'\.tt')) . O sea: dados dos lapsos arquim)deos, hay un tercero tal que la distancia entre los dos dados es ms real o existente (mayor) que la que haya entre uno cualquiera de ellos dos y ese tercer lapso. (Desde luego cabe demostrar que entre dos lapsos arquim)deos s;lo hay lapsos arquim)deos.) Hcennos ver esos resultados la fuerza del sistema as1 construido. Sin embargo subsisten muchos problemas, que sern temas de estudio en ulteriores  T$ trabajos. La noci;n de ser verdad durante o en un lapso es una noci;n que encierra dificultades. Claro que no por ello hay que abandonarla, cayendo en el refugio de los instantes. Mas no pueden soslayarse los problemas que rodean a los lapsos. En particular, qu) relaciones se dan entre la verdad (la realizaci;n, la presencia, la existencia, el suceder) de un hecho en, o durante, un lapso y su verdad o realizaci;n durante porciones de tal lapso?  T* Podr1a esperarse que el valor tensorial de verdad de  tp , cuando t sea una  T+ porci;n de t', estuviera subsumido en el de  t'p , e.d. fuera una subsecuencia de+o.,,&& )ste Cltimo; lo cual significar1a la validez de este esquema (el esquema (tJ)):  T  tt'D.tpJ(t'p) . Es dudoso, empero, que ese esquema sea de validez general. En un trabajo posterior analizar) las dificultades que conlleva la aseveraci;n general de (tJ). Mas, por otro lado, tampoco parece que siempre sea verdad, para cualquier p, que el valor de tp sea un tipo de `media' entre los valores extremos de t'p y t'p, siendo t',t' porciones de t tales que en ninguna porci;n de t el valor de verdad de p est) por debajo del de t'p y en ninguna est) por encima del de t'p. Un enfoque as1 tambi)n suscita grandes dificultades. Sin embargo, es este tipo de enfoque, uno `promedial', el que parece ms correcto en muchos casos (ms que el anteriormente evocado, el `inclusivo'), pero Cnicamente para hechos en cuya enunciaci;n natural no intervengan functores como `I' ni como `H', o sea hechos significables por oraciones `blandas' "en nuestra terminolog1a t)cnica. El promedio en cuesti;n depender de una serie de factores. as1, normalmente, el valor de verdad de `En el siglo XV p' "para hechos, p, de esa 1ndole" estar ms pr;ximo al de `En el per1odo 14101490 p' que al de `En febrero  T de 1444 p'; precisemos:  c%teris paribus . Cules otras circunstancias han de ser iguales "o desiguales? Temas que quedan ah1 planteados para futuras indagaciones. Dos Cltimos puntos para concluir. Refi)rese el primero a la postulaci;n de instantes: es menester admitir la existencia en el tiempo de puntos sin duraci;n continuantes por medio de los cuales se unan dos lapsos? O, si no, no vienen unidos por nada dos lapsos contiguos, no hay punto de transici;n entre ellos? Y, si  T s1 hay instantes, no son, tambi)n ellos,  cuandos ? Si entre 1970 y 1971 hay un instante que es el Cltimo del primero de esos a9os o el primero del segundo, al pasar se de un a9o a otro se estar en ese instante, y en )l ser verdad lo que sea verdad en ese trnsito de un a9o a otro; luego ser un cuando, un tiempo en el que sean verdaderas unas cosas si y otras no. Respondo lo siguiente. En primer lugar, aunque haya instantes, no  T forzosamente tienen que ser  cuandos . Aunque exista ese instante entre los dos a9os sucesivos, puede muy bien que la relaci;n de `estar en' o `suceder durante' no una a ningCn hecho ms que con lapsos, pues precisamente esos puntos continuativos sin duraci;n se limitar1an a unir los lapsos; y s;lo derivativamente, en un sentido meramente traslaticio, cabria decir que `en' un instante es verdad esto o aquello; como los sentidos en que se dice, p.ej., que un m;vil tiene una velocidad en un instante, lo cual debe entenderse convenientemente parafraseado, segCn la teor1a de limites. Porque en un instante no hay tiempo para que pase nada; ni para que se realice temporalmente nada; luego un hecho no puede tener precedencia o realizaci;n temporal en un instante; ni tampoco presencia atemporal, pues )sta es  T& la que se d) independientemente de todo  cuando . Por ende, los instantes no son  T'  cuandos . Pero, siendo ello as1, para qu) postularlos? Su postulaci;n conlleva inconvenientes; p.ej. surgen apor1as como la de Arist;teles, a saber si hay un Cltimo instante en el que el cuerpo arrojado arriba est ms subiendo que bajando o si hay un primer instante en el que est ms bajando que subiendo, o un instante en el que sube y baja en la misma medida. A lo cual, desde luego, cabe oponer que s;loN+o.,,&& en sentido derivado, parafraseable, puede decirse que algo sucede en un instante; aun as1, en ese sentido derivado, sea cual fuere, surge la dificultad; puede contestarse que en ese instante el cuerpo baja y sube en la misma medida, lo cual quiz fuera parafraseable como que, cuanto ms final es una porci;n del lapso precedente a ese instante, menos verdad es que el cuerpo sube en es porci;n de tiempo, y, cuanto ms inicial es una porci;n del lapso subsecuente, menos verdad es que el cuerpo baja. Pero, aparte de que es dudoso que as1 sea siempre "puede haber cambios brusqu1simos, si no en eso, si en otras cosas", esa parfrasis indicar1a que la postulaci;n del instante no estar1a sirviendo de nada para dar cuenta del movimiento en cuesti;n. En lo tocante al papel unitivo de los instantes, seria mejor asignar ese papel a lapsos intermedios. Y los hay "segCn el esquema axiomtico At10. Entre 1970 y 1971 estn infinitos lapsos intermedios para unirlos; p.ej. el a9o lectivo 197071; lapsos a caballo entre los dos dados. (Igualmente, cuando se trocea un tronco c, en dos trozos, c',c, destrCyese, p.ej., una parte de c que estar1a formada por una porci;n de c' y otra de c', luego no todas las partes de c siguen existiendo, ni es menester inventarse una superficie o l1nea unitiva.) En lugar de absolutos indivisibles, es preferible, provistos con nuestra l;gica gradualista y contradictorial, asignar grados de ejemplificaci;n de la determinaci;n de ser un limite. Al igual que no existe `el inicio' de un lapso, sino que lo que se dan son porciones iniciales del mismo (y, segCn lo hemos visto, cada porci;n inicial es menos inicial que otra), similarmente por qu) iba a haber una superficie absoluta de la mesa, una entelequia que no puede estar sucia ni rugosa, pues seria bidimensional? Ms bien, para cada porci;n superior de la mesa habr otra ms menuda, ms honda, que sea, ms que la anterior, una superficie de la mesa; el articulo determinado se usa ah1 abusivamente, como en tant1simos otros casos. Otra cuesti;n espinosa acerca del sistema aqu1 propuesto es que normalmente el vocablo `ahora' es considerado un de1ctico, lo cual parece  T incompatible con el tratamiento aqu1 brindado, en el cual el  ahora  es un lapso fijo, en cierto sentido privilegiado, s;lo que en cada lapso coincidente con ese lapso que est) transcurriendo. Siendo ello as1, pareciera que lo significado por una prolaci;n  T de  Ahora p  en 1932 deber1a ser id)ntico a lo significado por otra prolaci;n igual  T en 1988, aunque  p  sea, p.ej., `Espa9a es una RepCblica'. Luego lo dicho en el primer caso no ser lo mismo que lo dicho en ese mismo a9o de 1932 por (una prolaci;n de) la oraci;n `Ahora, en 1932, Espa9a es una RepCblica'. Mi respuesta es que, probablemente, `ahora', no es un nombre propio del ahora, sino un signo cuya semntica nos depara ms de una sorpresa: ser1a un de1ctico que denotar1a en cada contexto a uno de los lapsos coincidentes con el ahora cuando est) coincidiendo con )ste Cltimo, e.d. durante el lapso mismo en cuesti;n. Justificar tal propuesta es, empero, harina de otro costal.  T' He aqu1 el Cltimo punto: es generalmente vlido el esquema  zt,t'(t'tpItp) ? Puede alegarse que siempre es verdad que el 14 de julio de 1789 el pueblo parisino toma la Bastilla. Otros lo negar1an, aduciendo que el futuro est al)ticamente indeterminado. Son distintos mis motivos para poner en tela de juicio el esquema en cuesti;n: la relatividad del tiempo, el que el tiempo transcurra en s1 mismo enF+o.,,&& una infinita pluridimensionalidad, hace que no sea nada seguro que el paso del tiempo deje inalterados los hechos temporales. Quiz en 1989 ya no sea tan verdad que en 49 C)sar pasa el Rubic;n como lo era en 989; o quiz ahora no es ya tan verdad que en el devoniano se desarrollan la flora y fauna de este planeta como lo era hace 300 millones de a9os. Lo cual no quita para que quepa usar un presente hist;rico, que no es sino el presente atemporal, insensible a variaciones o al transcurso del tiempo: en 49 C)sar pasa el Rubic;n: eso es verdad, igualmente verdad, cuandoquiera que se diga, ahora o hace mil a9os; pero eso es una cosa y otra lo dicho por `En este a9o (en que estamos) es verdad que en 49 pasa C)sar el Rubic;n'; pues, al haber prefijado a la f;rmula una determinaci;n temporal ( lapsal ), que contiene un de1ctico, puede "podemos nosotros suponer" que a lo mejor lo proferido tenga uno u otro valor de verdad segCn cundo se diga "salvo y hasta prueba de lo contrario. Ah1 quedan planteados tales interrogantes para futuras investigaciones de l;gica temporal.